1．2任意角的三角函数1．2.1任意角的三角函数学习目标1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2．了解三角函数线的意义；3．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．课堂互动讲练课前自主学案知能优化训练1.2.1.任意角课前自主学案1．初中我们已经学习过锐角三角函数，它们都是以锐角为自变量的，请填好下表：温故夯基2.下列题目你会做吗？(1)地球的赤道半径约为6370千米，那么赤道上1°的圆心角所对的弧长为_______千米，1弧度的圆心角所对的弧长为______千米．(2)若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的关系为_________________________.6370637π18α＋β＝2kπ，k∈Z知新益能1．任意角的三角函数定义在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离OP＝r(r＝x2＋y2＞0)，则(1)比值yr叫做α的______，记作sinα，即sinα＝______.(2)比值xr叫做α的______，记作_______，即cosα＝_______.正弦余弦cosαyr.xr(3)比值yx(x≠0)叫做α的_______，记作_______，即tanα＝_____.sinα，cosα，tanα分别叫做角α的________函数、________函数、________函数，以上三种函数都称为三角函数．2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号正切tanα正弦余弦正切yx3．有向线段与三角函数线(1)有向线段：规定了_______的线段．(2)三角函数线．方向1．角α与β是不同的角，所以角α与β的正弦、余弦、正切值都不相等，这种说法正确吗？提示：不正确．如α＝30°，β＝390°，这两角的终边相同，所以角α，β的三角函数值一样．2．三角函数在各象限的符号由什么来确定？提示：由三角函数定义可知三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定．3．正弦线、余弦线、正切线方向有何特点？提示：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边的交点．问题探究课堂互动讲练利用定义求角的三角函数值利用三角函数的定义求角的三角函数值，需要知道三个量：x，y，r.因此，在计算时，一般将三个量全部求出来，再进一步计算．已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值．例例11【思路点拨】【解】r＝－3a2＋4a2＝5|a|，当a＞0，则r＝5a，sinα＝yr＝4a5a＝45，cosα＝xr＝－3a5a＝－35，∴2sinα＋cosα＝85－35＝1.当a＜0，则r＝－5a，sinα＝4a－5a＝－45，cosα＝－3a－5a＝35.∴2sinα＋cosα＝－85＋35＝－1.【名师点评】(1)利用定义求三角函数值关键是确定角的终边上任一点的坐标及该点到原点的距离．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．自我挑战1已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα＋1tanα的值．解： P(x，－2)(x≠0)，∴点P到原点的距离r＝x2＋2，∴cosα＝xx2＋2.又 cosα＝36x，∴xx2＋2＝36x. x≠0，∴x＝±10，∴r＝23.当x＝10时，点P的坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，得sinα＝－66，1tanα＝－5，∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66.当x＝－10时，点P的坐标为(－10，－2)，由三角函数的定义，得sinα＝－66，1tanα＝5，∴sinα＋1tanα＝65－66.三角函数值在各象限的符号对于角α所在象限问题，应首先确定题目中所有三角函数的符号，然后依据三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们的公共象限即为所求；对于已知角α的所在象限来判断α的相应函数值符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来处理．例例22已知cosα＜0，tanα＜0.(1)求角α的集合；(2)求角α2的终边所在的象限；(3)试判断sinα2，cosα2，tanα2的符号．【思路点拨】(1)可先分别写出cosα＜0，tanα＜0的α集合，然后取两集合中α的交集．(2)在(1)的基础上，把α的范围缩小到原来的12便是α2的集合，从而结合象限角的定义加以分析．(3)最后借助于三角函数的符号法则把问题解决．【解】(1) cosα＜0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x轴的负半轴上． tanα＜0，∴角α的终边可能位于第二或第四象限．∴角α的终边只能位于第二象限．故角...
