高中数学第一轮总复习 第15章第78讲圆中的有关定理及其应用课件 理 新课标 课件VIP专享VIP免费

901.302ABCCAACABC中，，，，求的外接圆的半径．VVRt23cos304.30322.ABCABACACABABcosABC的斜边就是其外接圆的直径．由，得所以的外接圆的半径解析：等于VV2.如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.已知BC=5，EC=4，求ED的长．解析：由切割线定理得AE2=EC×EB=4×(4+5)=36，所以AE=6.因为AE为切线，所以∠EAC=∠B.又∠EAD=∠EAC+∠CAD，∠EDA=∠B+∠BAD.且∠CAD=∠BAD，所以∠EAD=∠EDA，所以DE=AE=6.3.(2011·江苏省扬州中学模拟)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD.求证：(1)l是⊙O的切线；(2)PB平分∠ABD.解析：(1)连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD.又OA=OB，PC=PD，所以OP∥BD，从而OP⊥l.因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．(2)连接AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD=∠BAP.又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD.4.已知圆O的直径AB=13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)．若CD=6，求AD的长．22212.90..6131336049.9.ACCBABOACBADxCDABCDADDBxxxxxxADBDADe如图，连接，因为是的直径，所以设因为，所以由直角三角形射影定理得，即，所以，解得，因为，所以解析：5.如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引⊙O的割线交⊙O于B、C两点．求证：∠DPB=∠DCP.22..PAADADBDCDPADPDAPDDBDPDBDCDCPDBDPPDCBDPPDCDPBDCPVV因为与圆相切于，所以，因为为中点，所以，所以，即因为，所以∽，所以解析：圆的切线的判定..1ABOBPOBOACOPPCOPCBADPBACDAODPOP12如图，是的直径，切于，的弦求证：是的切线；若切线和的延长线交于点，且等于的半径，则【例】【解析】(1)连结OC.因为AC∥OP，所以∠ACO=∠COP，∠CAO=∠POB.由OA=OC，得∠OAC=∠OCA，所以∠COP=∠POB.在△COP和△BOP中，,POPOCOPBOPCOBO所以△COP≌△BOP,所以∠PBO=∠PCO=90°，所以PC是⊙的切线.(2)由△COP≌△BOP，得∠DPO=∠OPB，所以.因为DA=OA=OB，所以又因为AD等于⊙O的半径，AC∥OP，所以,所以.PBBOPDOD12PBPD12ACDAOPDOPBACDPOP本题主要考查圆的切线的判定及比例线段的证明，考查平面几何的推理论证能力.要证直线PC是⊙O的切线，只要证OC⊥PC即可；要求比例线段，可通过中间比来过渡，结合图形，利用条件即可获证.【变式练习1】如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，作CM⊥AB，垂足为点M.求证：(1)DC是⊙O的切线;(2)AM·MB=DF·DA.【解析】连结OC，则∠OAC=∠OCA.又因为CA是∠BAF的角平分线，所以∠OAC=∠FAC，所以∠FAC=∠OCA，所以OC∥AD.因为CD⊥AD，所以CD⊥OC，即CD是⊙O的切线.(2)连结BC.在Rt△ACB中，CM2=AM·MB.因为CD是⊙O的切线，所以CD2=DF·DA.又Rt△AMC≌Rt△ADC，所以CM=CD，所以AM·MB=DF·DA.切割线定理及其应用2222.ABDABCDABCDECTTCBFBECTBC如图，已知是半圆的直径，是上的一点，，交半圆于点，是半圆的切线，是切点，交半圆于，求证：【例】【解析】连结AE，AF.因为AB是圆O的直径，所以∠AEB=∠AFB=90°.又∠CDB=90°，∠ABC=∠DBF，所以△DBC∽△FBA,所以，即AB·BD=BC·BF.ABBFCBBD因为∠AEB=90°，CD⊥AB，所以BE2=BD·AB(直角三角形射影定理).因为CT是切线，CB是割线，所以CT2=CF·CB.所以BC2-CT2=BC2–CF·CB=BC·(BC-CF)=BC·BF,所以BE2=BC2-CT2，即BE2+CT2=BC2.有切线有割线，考虑利用切割线定理；有直径，莫忘直角；有平方形式，考虑直角三角形射影定理.【变式练习2】如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OCAB⊥，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证：DE2＝DB·DA.【解析】连结OF.因为DF切⊙O于F，所以∠OFD＝90°.所以∠OFC＋∠CFD＝90°.因为OC＝OF，所以∠OCF＝∠OFC.【解析】因为COAB⊥于O，所以∠OCF＋∠CEO＝90°.所以∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，所以DF＝DE.因为DF是⊙O的切线，所以DF2＝DB·DA....