基本不等式基本不等式基本不等式基本不等式高中数学高一年级必修五第三章第三节高中数学高一年级必修五第三章第三节学习目标学习目标:理解一元二次不等式的概念及其与二次函数、一元二次方程的关系。初步树立“数形结合次函数、一元二次方程的关系。学法指导：发现、讨论法；数形结合。”的观念。掌握一元二次不等式的解法及步骤。学习重点、难点：一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系；一元二次不等式的解法及其步骤。[提出问题]问题1：若a、b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大小关系？提示： (a2＋b2)－2ab＝(a－b)2≥0.∴a2＋b2≥2ab.问题2：上述结论中，“＝”号何时成立？提示：当且仅当a＝b时成立．问题3：若以a，b分别代替问题1中的a，b，可得出什么结论？问题4：问题3的结论中，“＝”何时成立？提示：a＋b≥2ab.提示：当且仅当a＝b时成立．[导入新知]1．重要不等式当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥，当且仅当时，等号成立．2．基本不等式1．有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数.2aba＝ba＋b2ab2．不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab≤，当且仅当时，等号成立．(3)变形：ab≤a＋b22，a＋b≥2ab(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．a＝ba＋b2[化解疑难]1．基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则ab≠a＋b2，即只能有ab＜a＋b2.2．从数列的角度看，a，b的算术平均数是a，b的等差中项，几何平均数是a，b的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项．[例1]已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.[证明]由基本不等式可得：a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理：b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.[类题通法]1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[活学活用]1．已知a，b是正数，求证21a＋1b≤ab.证明： a＞0，b＞0，∴1a＋1b≥21ab＞0，∴21a＋1b≤221ab＝ab，即21a＋1b≤ab(当a＝b时取“＝”).[例2](1)已知m，n＞0，且m＋n＝16，求12mn的最大值．(2)已知x＞3，求f(x)＝x＋4x－3的最小值；(3)设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求1x＋1y的最小值．[解](1) m，n＞0且m＋n＝16，所以由基本不等式可得mn≤m＋n22＝1622＝64，当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.∴12mn的最大值为32.(2) x＞3，∴x－3＞0，4x－3＞0，于是f(x)＝x＋4x－3＝x－3＋4x－3＋3≥2x－3·4x－3＋3＝7，当且仅当x－3＝4x－3即x＝5时，f(x)取到最小值7.(3)法一： x＞0，y＞0,2x＋y＝1，∴1x＋1y＝2x＋yx＋2x＋yy＝3＋yx＋2xy≥3＋2yx·2xy＝3＋22，当且仅当yx＝2xy，即y＝2x时，等号成立，解得x＝1－22，y＝2－1，∴当x＝1－22，y＝2－1时，1x＋1y有最小值3＋22.法二：1x＋1y＝1x＋1y·1＝1x＋1y(2x＋y)＝3＋2xy＋yx≥3＋2yx·2xy＝3＋22，以下同解法一．[类题通法]1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a＋b2≥ab成立的前提条件，a>0，b>0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．[活学活用]2．(1)已知lga＋lgb＝2，求a＋b的最小值；(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．(3)已知x＞0，y＞0，1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．解：(1)由lga＋lgb＝2可得lgab＝2，即ab＝100，且a＞0，b＞0，因此由基本不等式可得a＋b≥2ab＝2100＝20，当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.(2) x＞0，...
