第三章基本初等函数（1）3.1指数与指数函数3．1.1实数指数幂及其运算知识整合1．整数指数(1)an叫做a的________，a叫做幂的________，n叫做幂的________．(2)正整指数幂的运算法则：am·an＝________；(am)n＝________；aman＝________(m>n，a≠0)；(ab)m＝________.(3)a0＝________(a≠0)；a－n＝________(a≠0，n∈N＋)．(2)根式的性质(na)n＝________(n>1，且n∈N＋)；nan＝当n为奇数时，当n为偶数时.(3)分数指数幂，规定正数的正分数指数幂的意义是________________．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，规定：__________________，0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(4)设a>0，b>0，对任意有理数α、β，有理数幂有如下三条运算法则：aα·aβ＝________，(aα)β＝________，(ab)α＝________.特别警示：(1)在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数；零的奇次方根是零，都表示为na(n为奇数)；(2)在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等且符号相反的数，零的偶次方根是0，负数的偶次方根没有意义；(3)根式计算的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为正值，可先写作|a|的形式，避免出现错误．答案：1.n次幂底数指数am＋namnam－nambm11an2．a的n次方根开方运算算术根根式根指数aa|a|amn＝(na)m＝nam(a>0，m，n∈N＋，且mn为既约分数)a－mn＝(a>0，m，n∈N＋，且mn为既约分数)aα＋βaαβaαbα名师解答1．(na)n和nan有什么区别？它们分别等于什么？分析这两个式子的含义和成立的条件，多举例子来体会它们的区别．(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性来决定：①当n为大于1的奇数时，a∈R.例如，(327)3＝27，(5－32)5＝－32，(70)7＝0；②当n为大于1的偶数时，a≥0.例如，(427)4＝27，(3)2＝3，(60)6＝0；若a<0，式子(na)n无意义，例如，(－2)2、(4－54)4均无意义，也就不能说它们的值了．由此看只要(na)n有意义，其值恒等于a，即(na)n＝a.nan是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性限制，a∈R.但是这个式子的值受n的奇偶性限制：①当n为大于1的奇数时，其值为a，即nan＝a，例如，3(－2)3＝－2,56.15＝6.1；②当n为大于1的偶数时，其值为|a|，即nan＝|a|.例如，434＝3,(－3)2＝|－3|＝3.由此看nan＝a，n＝2k－1，k∈N＋，且k>1，|a|，n＝2k，k∈N＋.深入学习题型一负整数指数幂的运算【例1】化简a－1＋b－1a－1b－1.分析：先把负整数指数幂化为正整数指数幂，得到熟悉的繁分式再化简．解：原式＝1a＋1b1a·1b＝ab(1a＋1b)ab·1a·b＝b＋a.评析：同底数的幂做乘法、除法、乘方、开方时常化为有理数指数运算．不同底数的多个项做除法运算时，化为正数指数运算化简更简单．变式训练1化简(a3＋a－3)(a3－a－3)÷[(a4＋a－4＋1)(a－a－1)]．题型二化简求值【例2】已知：x－3＋1＝a，求：a2－2ax－3＋x－6的值．分析：所求的式子比较复杂，但如果我们把已知条件x－3＋1视为一个整体，则能迅速求解．解：a2－2ax－3＋x－6＝(a－x－3)2＝12＝1.评析：这类题目一般是先化简，再求值．在化简的过程中，联系已知条件，整体代入，问题获得迅速解决．变式训练2若x2＋x－2＝22，则x2－x－2的值为()A．±2B．2C.6D．－2答案：A解析：由x2＋x－2＝22，两边平方得x4＋x－4＋2＝8，∴(x2－x－2)2＋2＝6，∴(x2－x－2)2＝4，x2－x－2＝±2.故选A.题型三分数指数幂的运算【例3】求值：分析：先化简，将各式子的结构统一到假分数和真分数的形式，然后寻找规律，利用分数指数幂的性质进行计算，要注意公式的正用、逆用和活用．评析：计算题也遵循“先化简后求值”的原则，在计算中要写出必要的步骤，一步解决一个问题，这是避免出错的一种好方法．变式训练3计算：题型四分数指数幂的化简分析：第(1)小题可以将根式化为分数指数幂，然后化简；第(2)小题可以先用分数指数的运算性质进行计算；第(3)小题可以先将完全平方式展开，进行化简，从而发现规律，再化简．变式训练4化简：分析：观察所给各式子的结构特征，联想立方和、差与平方差公式...
