第11讲不等式及其应用第第1111讲不等式及其应用讲不等式及其应用主干知识整合第11讲│主干知识整合1．不等式的性质由两条基本性质(对称性、传递性)和运算性质(加、减、乘、除、乘方、开方及倒数法则等)组成，它们是解(或证)不等式的基础和依据．2．解不等式的基本思想是等价转化，即利用不等式的性质及有关函数的性质把问题转化为一元一次不等式、一元二次不等式求解，因而，一元一次不等式、一元二次不等式是基础．解含参数的不等式，一般需分类讨论，它是这一部分的难点．3．几个重要不等式：(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)a＋b2≥ab(a，b∈R＋)；(3)ab≤a＋b2≤a2＋b22(a，b∈R＋)．第11讲│主干知识整合4．不等式在中学中有最广泛的应用，其中主要表现在(1)求函数的定义域、值域；(2)求函数的最值；(3)讨论函数的单调性；(4)研究方程的实根分布；(5)求参数取值范围；(6)解决与不等式有关的应用性问题等，其中含参数的讨论和不等式在实际问题中的应用是高考命题的热点，也是学习中的难点．5．不等式的证明是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的一个难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，亦成为历届高考的热点问题，但高考中几乎不可能出现单独考查不等式证明的试题，在题目的设计上，常常将不等式的证明与函数、数列、三角函数综合，意在考查逻辑推理能力．要点热点探究第11讲│要点热点探究►探究点一不等式的基本性质例1[2011·全国卷]下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3【分析】结合充分、必要条件的定义，逐个分析．第11讲│要点热点探究A【解析】对A项，若a>b＋1，则a－b>1，则a>b；若a>b，不能得到a>b＋1.对B项，若a>b－1，不能得到a>b；对C项，若a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能得到a>b；对D项，若a3>b3，则a>b，反之，若a>b，则a3>b3，a3>b3是a>b成立的充分必要条件，故选A.【点评】正确理解和运用不等式的性质是学好不等式的关键，在分析问题时，要注意思考“理论依据”是什么，不能想当然．第11讲│要点热点探究有三个条件：(1)ac2＞bc2；(2)ac＞bc；(3)a2＞b2，其中能成为a＞b的充分条件的个数为()A．0B．1C．2D．3B【解析】由ac2＞bc2知c2＞0，即a＞b，故ac2＞bc2是a＞b的充分条件；c＜0时，a＜b；a＜0，b＞0，|a|＞|b|时，a＜b，故(2)、(3)不是a＞b的充分条件，故选B.第11讲│要点热点探究►探究点二不等式的解法例2[2011·天津卷]已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝x∈Rx＝4t＋1t－6，t∈(0，＋∞)，则集合A∩B＝________.【分析】集合A是不等式x＋3＋x－4≤9的解集，集合B是函数x＝4t＋1t－6，t∈(0，＋∞)的值域，求出它们的范围后，再取其交集．第11讲│要点热点探究{x|－2≤x≤5}【解析】 A＝x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9＝x∈R|－4≤x≤5，B＝x∈Rx＝4t＋1t－6，t∈0，＋∞＝x∈Rx≥24t×1t－6，t∈0，＋∞＝{x∈R|x≥－2}，∴A∩B＝{x∈R|－4≤x≤5}∩{x|x≥－2}＝{x|－2≤x≤5}．【点评】本题以集合知识为载体，考查了对不等式的理解与运算．正确求出不等式的解集是前提．第11讲│要点热点探究不等式x＋5x－12≥2的解集是()A.－3，12B.－12，3C.12，1∪(1,3]D.－12，1∪(1,3]D【解析】解法一：易知x≠1，排除B；由于x＝0符合，可排除C；由于x＝3符合，可排除A.故选D.解法二：原不等式等价于x－1≠0，x＋5≥2x－12，)解得x≠1，－12≤x≤3，)即－12≤x＜1或1＜x≤3.故选D.第11讲│要点热点探究►探究点三利用均值不等式求最值例3[2011·重庆卷]已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72B．4C.92D．5【分析】将条件a＋b＝2转化成12(a＋b)＝1，再与1a＋4b相乘，得到利用均值不等式求最值的结构．第11讲│要点热点探究C【解析】1a＋4b＝12(a＋b)1a＋4b＝125＋ba＋4ab≥125＋2ba·4ab＝92.当且仅当ba＝4ab，a＋b＝2...
