江苏专用高考数学二轮复习 专题四第3讲立体几何中的向量方法课件 理 苏教版 课件VIP免费

第3讲立体几何中的向量方法感悟高考明确考向(2010·浙江)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝23FD＝4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.(1)求二面角A′－FD－C的余弦值；(2)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．解方法一(1)取线段EF的中点H，连接A′H， A′E＝A′F及H是EF的中点，∴A′H⊥EF.又 平面A′EF⊥平面BEF，A′H⊂平面A′EF，∴A′H⊥平面BEF.如图(1)，建立空间直角坐标系A－xyz，则A′(2,2，22)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0)．设n＝(x，y，z)为平面A′FD的一个法向量，∴nn∴－2x＋2y＋22z＝0，6x＝0，故).0,0,6(),22,2,2(FDAF,0AF,0FD图（1）取z＝2，则n＝(0，－2，2)．又平面CFD的一个法向量m＝(0,0,1)，故cos〈n，m〉＝n·m|n||m|＝33.∴二面角A′－FD－C的余弦值为33.(2)设FM＝x，则M(4＋x,0,0)， 翻折后C与A′重合，∴CM＝A′M，故(6－x)2＋82＋02＝(－2－x)2＋22＋(22)2，得x＝214，经检验，此时点N在直线BC上．∴FM＝214.方法二(1)如图(2)，取线段EF的中点H，AF的中点G，连接A′G，A′H，GH， A′E＝A′F及H是EF的中点，∴A′H⊥EF.又 平面A′EF⊥平面BEF，A′H⊂平面A′EF，∴A′H⊥平面BEF.又AF⊂平面BEF，故A′H⊥AF.又 G，H是AF，EF的中点，∴GH∥AB，∴GH⊥AF.又 GH∩A′H＝H，∴AF⊥平面A′GH，∴AF⊥A′G，∴∠A′GH为二面角A′－DF－C的平面角．图（2）在Rt△A′GH中，A′H＝22，GH＝2，A′G＝23，∴cos∠A′GH＝33.故二面角A′－FD－C的余弦值为33.(2)设FM＝x， 翻折后C与A′重合，∴CM＝A′M，而CM2＝DC2＋DM2＝82＋(6－x)2，A′M2＝A′H2＋MH2＝A′H2＋MG2＋GH2＝(22)2＋(x＋2)2＋22，解得x＝214，经检验，此时点N在线段BC上，∴FM＝214.考题分析本题主要考查二面角的求解和线段长度的计算．考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，灵活选择不同方法解决问题的应变能力．本题可用向量法解决，也可用传统几何法解决，方法灵活．易错提醒(1)缺少必要的证明．(2)空间坐标系的建立，缺少必要的说明．建系不规范，叙述不准确．(3)建立空间坐标系后，不能正确写出点的坐标或空间向量坐标．(4)计算不正确，书写不规范．主干知识梳理1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线线夹角设l，m的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则cosθ＝|a·b||a|·|b|＝|a1a2＋b1b2＋c1c2|a21＋b21＋c21a22＋b22＋c22.(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则sinθ＝|a·μ||a||μ|＝cos〈a，μ〉．(3)面面夹角设平面α、β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则|cosθ|＝|μ·v||μ||v|＝|cos〈μ，v〉|.3．求空间距离直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P到平面α的距离：(其中n为α的法向量，M为α内任一点)．||||nnPMd热点分类突破题型一利用向量证明平行与垂直例1如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.思维启迪可利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理；也可用向量法建立空间直角坐标系，用向量的坐标运算来解决．证明如图建立空间直角坐标系A—xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．(1)取AB中点为N，连结CN，则N(2,0,0)，C(...