1．3.2空间几何体的体积学习目标1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的体积计算公式(不要求记忆公式)；2．会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的体积．课堂互动讲练知能优化训练1．3.2空间几何体的体积课前自主学案课前自主学案1．正方体的体积公式：V＝___(a为正方体的棱长)．2．长方体的体积公式：V＝abc(a，b，c分别为长方体的长、宽、高)．温故夯基a3柱体、锥体、台体与球的体积知新益能几何体体积公式柱体V＝____(S为底面面积，h为柱体的高)锥体V＝______(S为底面面积，h为锥体的高)台体V＝____________________(S，S′分别为上、下底面面积，h为台体的高)球V＝______(其中R为球的半径)Sh43πR313Sh13(S′＋S′S＋S)h思考感悟1.底面积和高分别对应相等的圆柱和棱柱的体积相等吗？提示：因为所有柱体的体积公式都是同一个，所以底面积和高分别对应相等的圆柱和棱柱的体积相等．2．根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？提示：柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们之间的关系如下：(1)柱体、锥体、台体之间的关系：(2)体积公式之间的关系：课堂互动讲练(1)几何体的体积是指几何体所占空间的大小．(2)求柱体的体积要注意两点：一是底面积，二是柱体的高．柱体的体积考点突破如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、BC、CC1的中点，若正方体的体积为V，试求三棱锥A1－EFG的体积．例1【思路点拨】在该三棱锥中，无论把哪一面作为底面，体积都比较难求，注意到A1C1∥平面EFG，故A1和C1到平面EFG的距离相等，故VA1－EFG＝VC1－EFG，而三棱锥C1－EFG的体积易求．【解】设AB＝a，则V＝a3，连结A1C1、C1F、C1E. A1C1∥EF，EF∩平面EFG，A1C1⊄平面EFG，∴A1C1∥平面EFG.∴VA1－EFG＝VC1－EFG.又S△C1FG＝12C1G·FC＝a28.而BE⊥平面C1FG，且BE＝a2.∴VC1－EFG＝VE－C1FG＝13·S△C1FG·BE＝a348＝V48.故所求三棱锥体积为V48.【名师点评】平行移动三棱锥的顶点，可使其体积保持不变，该题在平移的过程中，移动的方向是尽量使新的三棱锥的一个面落在正方体的某一个表面上，这是等体积变换的变化技巧．变式训练1圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，求圆柱的体积．解：若圆柱的母线长是6π，则有4π＝2πr，∴r＝2.即此时圆柱的底面半径为2，∴V＝π×22×6π＝24π2.若圆柱的母线长是4π，则有6π＝2πr，∴r＝3.即此时圆柱的底面半径为3，∴V＝π×32×4π＝36π2.求锥体的体积要注意两点：一是底面积，二是锥体的高．锥体的体积(本题满分14分)如图，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是边长为a的等边三角形，四边形ABCD是矩形，F是AB的中点，EC与平面ABCD成30°角．(1)求三棱锥E－CDF的体积；(2)求D点到平面EFC的距离．例2【思路点拨】(1)求VE－CDF的关键是求出S△CDF和点E到平面CDF的距离．由面面垂直的性质作EH⊥AD于点H，则EH的长即为点E到平面CDF的距离．(2)求D点到平面EFC的距离，由于VD－EFC＝VE－DCF，可利用等体积转换法来求．【规范解答】(1)如图，作EH⊥AD，垂足为H，连结CH，FH，因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EH⊥平面ABCD，所以∠ECH＝30°，因为△ADE是边长为a的等边三角形，所以EH＝32a，所以CH＝EH·1tan30°＝32a.在Rt△CDH中，CD＝CH2－DH2＝32a2－12a2＝2a，所以S△CDF＝12CD·AD＝12×2a×a＝22a2，所以VE－CDF＝13·EH·S△CDF＝13×32a×22a2＝612a3.6分(2)在Rt△AFE中，由AE＝a，AF＝12CD＝22a，得EF＝AE2＋AF2＝a2＋22a2＝62a.在Rt△BCF中，由BF＝12CD＝22a，BC＝AD＝a，得CF＝BF2＋BC2＝62a.在Rt△DCE中，由DE＝a，DC＝2a，得EC＝DE2＋DC2＝a2＋2a2＝3a.所以EF2＋FC2＝EC2，所以S△EFC＝12EF·FC＝12×62a×62a＝34a2.10分设D到平面EFC的距离为d，则由VD－EFC＝VE－CDF＝612a3，得13×34a2·d＝612a3，所以d＝63a.即D点到平面EFC的距离为63a.14分【名师点评】三棱锥的“等体积性”，即计算体积时可以用任意一个面作三棱锥的底面．①求体积时，可选择高和底面积容易计算的来算；②利用“等体积性”可求点到平面的距离．利用等体积变换法求点到平面的距离，这是求点到平面距离的又一重要方法，...
