第六章不等式、推理与证明第45讲数学归纳法及应用Ｃ【学习目标】了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．【基础检测】1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．62．如果命题p(n)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是()A．p(n)对所有正整数n都成立B．p(n)对所有正偶数n都成立C．p(n)对所有正奇数n都成立D．p(n)对所有自然数n都成立【解析】由题意n＝k成立，则n＝k＋2也成立，又n＝2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立．故选B.B3．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1314(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边()A．增加了一项12（k＋1）B．增加了两项12k＋1、12k＋2C．增加了两项12k＋1、12k＋2，但减少了一项1k＋1D．以上各种情况均不对C【解析】当n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，当n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，∴增加了12k＋1＋12k＋2，减少了1k＋1，故选C项．4．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝__________．【解析】由(S1－1)2＝S12得S1＝12；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得S2＝23；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得S3＝34.猜想：Sn＝nn＋1.1nn【知识要点】1．归纳法由一系列有限的__________得出___________的推理方法叫做归纳法．2．数学归纳法对某些与正整数n有关的数学命题常采用下面的方法来证明它的正确性，先证明当n取第1个值n0时，命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这种证明方法叫做____________．3．数学归纳法证明步骤(1)数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取___________时命题成立．特殊示例一般结论数学归纳法0n第一个值②(归纳递推)假设__________(k≥n0，k∈N*)时命题成立，再证明当_____________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以判定命题对从_____________开始的所有正整数n都成立．(2)用框图表示数学归纳法的步骤验证①n＝n0时结论成立假设②________________时结论成立，推得③_____________时结论亦成立n=kn=k+10n0(nkknkN且n=k+1【解析】设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n＝k(k≥1且k∈N*)时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝16k(k＋1)(k＋2)，则当n＝k＋1时，一、用数学归纳法证明恒等式例1对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝16n(n＋1)(n＋2)．f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝16k(k＋1)(k＋2)＋12(k＋1)(k＋1＋1)＝16(k＋1)(k＋2)(k＋3)．即n＝k＋1时，命题成立．∴由(1)(2)可知当n∈N*时等式都成立．【点评】用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律；等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项；难点在于寻求等式中n＝k和n＝k＋1时之间的联系．二、用数学归纳法证明不等式例2用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．【解析】(1)当n＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时命题成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k＞1＋k2＋2k·12k＋1＝1＋k＋12.又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k＜12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．【点评】用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前...
