2.5等比数列的前n项和（二）理解等比数列前n项和的性质，并能用它解决等比数列的求和问题．掌握数列求和的重要方法——分组法与并项法．1．若数列{an}为等比数列(公比q≠－1)，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍构成________数列．答案：等比2．若某数列前n项和公式为Sn＝an－1(a≠0，a≠±1，n∈N*)，则{an}成________．答案：等比数列自学导引3．若数列{an}是公比为q的等比数列，则①Sn＋m＝Sn＋qnSm.②在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则S偶S奇＝________.答案：q实际应用题是高考中的重要内容，那么关于解等比数列的应用题的基本步骤是什么呢？答案：解答等比数列应用题的基本步骤：(1)阅读理解材料，且对材料作适当处理；(2)建立等比数列模型；(3)解数列模型．(4)回到实际问题．自主探究1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝30，则S30＝()A．70B．90C．100D．120解析：由于S10，S20－S10，S30－S20成等比数列．∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，又 S10＝10，S20＝30，∴可得S30＝70.答案：A预习测评2．在14与78之间插入n个数组成等比数列，如果各项总和为778，那么此数列的项数为()A．4B．5C．6D．7解析：依题意知778＝a1－qan＋21－q＝14－78q1－q⇒q＝－12，由78＝14·qn－1得n＝3∴n＋2＝5.答案：B3．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，则此数列为()A．等差数列B．等比数列C．常数数列D．递减数列解析：a1＝S1＝31－1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－3n－1＋1＝2·3n－1.所以对任意的正整数n，an＝2×3n－1成立，因此数列为等比数列．答案：B4．若等比数列的前n项和Sn＝5n＋m，则m＝()A．－1B．1C．－5D．5解析：a1＝5＋m，当n≥2时，an＝5n－5n－1＝4·5n－1所以5＋m＝4，m＝－1.答案：A等比数列前n项和性质(1)若某数列前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则数列{an}成等比数列．(2)若数列{an}是公比为q的等比数列，则①Sn＋m＝Sn＋qn·Sm；要点阐释③当q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．利用等比数列前n项和性质解题，可以简化计算量，提高解题速度．②在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则S偶S奇＝q；题型一等比数列前n项和的性质【例1】等比数列{an}的前n项和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为()典例剖析A．66B．64C．6623D．6023答案：D解析：设等比数列{an}的前3n项的和为S， S2n＝60，∴q≠－1.则54,60－54，S－60成等比数列，所以54(S－60)＝36，解得S＝6023.方法点评：以上解法是根据“若{an}是等比数列且q≠－1，则“Sn，S2n－Sn，S3n－S2n”成等比数列进行的，本题还可以列方程组，求出基本量a1，q，再求S3n，显然这种解法不如运用性质解好．1．已知一个等比数列的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．解：设该等比数列为{an}．公比为q，项数为n，由题意得：S偶S奇＝a2＋a4＋…＋ana1＋a3＋…＋an－1＝q＝17085＝2，∴q＝2Sn＝a11－qn1－q＝2n－1＝85＋170＝255.∴2n＝256，∴n＝8.题型二等比数列的实际应用【例2】某地现有居民住房的总面积为am2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？(可取1.110≈2.6)(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？(保留到小数点后第1位)解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为：1.1a－x；2年后住房总面积为：1.1(1.1a－x)－x＝1.12a－1.1x－x；3年后住房总面积为：1.1(1.12a－1.1x－x)－x＝1.13a－1.12x－1.1x－x；……10年后住房总面积为：1．110a－1.19x－1.18x－…－1.1x－x＝1.110a－1.110－11.1－1x＝2.6a－16x.由题意，得2.6a－16x＝2a.解得x＝380a(m2)．(2)所求百分比为a2－380a×102a＝116≈6.3%.方法点评：本题主要考查阅读能力、分析能力，解题思维障碍主要是对“10%的住房增长率”搞不清楚，要知道，它实际上是上一年住房的增长率．答：每年应拆除的旧住房总面积为380am2，过10年还未拆除的旧房总面...
