几何中的调和分割及应用郑皎月（安康学院数学系陕西 安康 725000 ）摘 要 : “ 调和分割”又称“ 调和 共轭 ”, 它 是交比 研究 中的 一个 重要特 例， 也是贯穿大学《高等几何》课程的一个重要概念，应用它解决初等几何中有关平分角、平分线段以及高等几何中有关对合的性质、完全四点型的调和分割、 完全四线型调和分割以及拉盖尔定理的推广等性质有着积极的意义。关键字： 调和分割高等几何应用性质若 C点分割线段 AB 的比值和 D 点分割 AB 的比值只差一个符号 （因而一个是内分点，另一个是外分点） ，这时我们说 C、D 两点调和分割 AB,或 C与 D 对于线段 AB 成调和共轭点偶，用符号1),(CDAB表示。在调和分割中，两对点的关系是完全对等的，这意思是说，当C 与 D 调和分 AB 时， A 与 B 也调和分割CD,因而我们已知道，若1),(CDAB,便也有1),(ABCD.一、几何中的调和分割1.关于平分角中的调和分割三角形中一个角的内角和外角的平分线，将对边分成两线段的比值， 都和两邻边成比例，可见，两条平分角线和对边的交点，调和分割对边。AEED ACBE图 1证明：由三角形中一个角的内角和外角的平分线，将对边分成两线段的比值，都和两临边成比例有EBAEDBDACBACEBAE,即DBDACBAC1CBDADBAC则1BCADBDAC因此1),(CDAB2、关于线段的调和分割一线段被它的中点和这直线上的无穷远点所调和分割,即证明：1),(CPAB证：APBPBCACBCAPBPACCPAB),(因为CBAC所以1BCAC即1BCAPBPAC则1),(CPAB3、关于对合的调和分割对合有两个二重元素， 这两个元素是不重合的， 可能是共轭复元素， 并且这两个二重元素调和分割任意一对对应元素。证明：由于对合的表达式是),0(,0)(2''badduubauuABCP图 2所以决定二重元素的方程022dbsas不能有等根， 所以两根1s 和2s 或者是不等式实根 （双曲型对合），或者是共轭复根（椭圆型对合） .由于对合是射影变换， 因此保留交比， 即),(),('21'21uussuuss,利用交比性质， 此式可写作),(1),('21'21uussuuss从而1),('21uuss或1),('21uuss，但1),('21uuss将导致 u 与'u 重合，这与对合不是恒同变换的假设抵触，从而1),('21uuss.4、关于完全四点形和完全四线形的调和分割完全四点形完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这对角点的两边和对角三角形的两边。完全四线型完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这直线上的两个顶点和对角三角形的两个顶点。ABDPRQadPbrcSRA...
