利用导数证明不等式的两种通法VIP免费

学习必备欢迎下载利用导数证明不等式的两种通法吉林省长春市东北师范大学附属实验学校金钟植岳海学利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。一、函数类不等式证明函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式( )( )f xg x （( )( )f xg x ）的问题转化为证明( )( )0f xg x（( )( )0f xg x），进而构造辅助函数( )( )( )h xf xg x ，然后利用导数证明函数( )h x的单调性或证明函数( )h x 的最小值（最大值）大于或等于零 （小于或等于零） 。例 1 已知(0,)2x，求证： sintanxxx分析：欲证 sintanxxx ，只需证函数( )sinf xxx 和( )tang xxx 在 (0,)2上单调递减即可。证明：令( )sinf xxx ，其中(0,)2x则/ ( )cos1fxx，而(0,)cos1cos102xxx所以( )sinf xxx 在 (0,)2上单调递减，即( )sin(0)0f xxxf所以 sin xx；令( )tang xxx，其中(0,)2x则/221( )1tan0cosgxxx，所以( )tang xxx 在 (0,)2上单调递减，即( )tan(0)0g xxxg所以tanxx 。综上所述， sintanxxx评注：证明函数类不等式时，构造辅助函数比较容易，只需将不等式的其中一边变为0，然后另一边的函数作为辅助函数，并利用导数证明其单调性或其最值，进而构造我们所需的不等式的结构即可。 根据不等式的对称性，本例也可以构造辅助函数为在(0,)2上是单调递增的函数（如：利用( )sinh xxx 在 (0,)2上是单调递增来证明不等式sin xx ），另外不等式证明时，区间端点值也可以不是我们所需要的最恰当的值（比如此例中的(0)f也可以学习必备欢迎下载不是 0，而是便于放大的正数也可以）。因此例可变式为证明如下不等式问题：已知(0,)2x，求证： sin1tan1xxx证明这个变式题可采用两种方法：第一种证法：运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大，即证明不等式sin xx 以后，根据 sin1sinxxx 来证明不等式 sin1xx ；第二种证法： 直接构造辅助函数( )sin1fxxx 和( )tan1g xxx，其中(0,)2x然后证明各自的单调性后再放缩或放大（如：( )sin1(0)10f xxxf）例 2 求证： ln(1)xx分析：令( )ln(1)f xxx ，经过求导易知，( )f x 在其定义域 ( 1,) 上不单调，但可以利用最值证明不等式。证明：令( )ln(1)f xxx函数 f(x) 的定义域是 ( 1,) , 'f (x)=111x...