立体几何中添加辅助线的策略VIP专享VIP免费

立体几何中添加辅助线的策略立体几何中添加辅助线的主要策略：一是把定义或者定理中缺少的线、面、体补完整；二是要把已知量和未知量统一在一个图形中，如统一在一个三角形中，这样可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以统一在平行四边形或其他几何体中。下面加以说明。一、添加垂线策略。因为立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的，如线面角、二面角的定义，点到平面、线到平面、平面到平面距离的定义，三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定义或定理，就需要把没有的垂线补上。尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系，才能使用三垂线定理或其逆定理。例 1. 在三棱锥中，三条棱 OA、OB、OC 两两互相垂直，且 OA=OB=OC，M 是AB 边的中点，则 OM 与平面 ABC 所成的角的大小是________（用反三角函数表示）。图 1解：如图 1，由题意可设，则，O 点在底面的射影 D 为底面的中心，。又，OM 与平面ABC 所成角的正切值是，所以二面角大小是。点评：本题添加面 ABC 的垂线 OD，正是三棱锥的性质所要求的，一方面它构造出了正三棱锥里面的，，另一方面也构造出了 OM 与平面 ABC 所成的角。二、添加平行线策略。其目的是把不在一起的线，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形，这样就可以通过解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位线来作出所需要的平行线。例 2. 如图 2，在正方体中，，则与 DF 所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 图 2解析：取，易得四边形 ADFG 是平行四边形，则 AG//DF，再作，四边形也是平行四边形，就是与 DF 所成角，由余弦定理，算出结果，选 A。点评：求异面直线所成角常采用平移法。三、向中心对称图形对称中心添加连线策略。这主要是因为对称中心是整个图形的“交通”枢纽，它可以与周围的点、线、面关联起来，常见的有对平行四边形连对角线，对圆的问题向圆心连线，对球体问题向球心连线。例 3. 如图 3，O 是半径为 1 的球的球心，点 A、B、C 在球面上，OA、OB、OC 两两垂直，E、F分别是大圆弧 AB 与 AC 的中点，则点 E、F 在该球面上的球面距离是（ ）A. B. C. D. 图 3解析：添加辅助线 OE、OF，连结 EF，构成，关键是求。为了使 EF 与已知条件更好地联系起来，过 E 作，垂足为 G，连结 FG，构造，在图 3...