院、系领导审批并签名B卷广州大学2013-2014学年第2学期考试卷课程信息论与编码理论2考试形式（闭卷，考试）学院系专业班级学号姓名__题次一二三四五六七八九十总分评卷人分数1515202525100评分1.(15分)设一个3元线性码的生成阵为,(1)求的标准型生成阵;(2)求的标准型校验阵;(3)求的最小距离.解：（1），则的标准型生成阵为。（2）由于的标准型生成阵为，则的标准型校验阵为。(3)由的校验阵为，其中4列为0，则的最小距离为1。2.(15分)设是一个元最小距离为的线性码,其生成阵为;设是一个元最小距离为的线性码,其生成阵为.令,证明:是一个元最小距离为的线性码,进一步第1页共5页求其生成阵.略3.(20分)设一个2元线性码的生成阵为,问:1）该码是否为MDC码，是否为循环码？2）若收到向量,分别用一般线性码的最小距离译码方法,标准阵列译码方法,伴随式译码方法来译码.解：1）由于的生成阵为，则的校验阵为，1，2，4列相关，则的最小距离为2，而该码的码长为，维数，于是=2<3=，则该码不是MDC码。由于码字，而左循环一位后为11110，11110不是码字，则该码不是循环码。2）由于生成阵为，则。①若收到向量，则，，，，则利用最小距离译码，译成。②由于，列出标准阵列000001011101101110101000010000001111110101010010000100011111001011001000100001001001101001111100001000010101010111111000000010000110110011001101110001100010011011100010110001100011101000111011001若收到向量，其位于该表中第3行，3列，则将译成。③由标准阵列表，和校验阵，可计算出伴随式表0000000010000111010001010010010000010010000010011000111000011011第2页共5页的伴随为101,则错误向量为01000,于是将译成.4.(25分)设,以为生成多项式的循环码为，1）证明；2）求的码长，维数，的生成阵和校验阵,并求最小距离；3）若信源为1110,分别求系统和非系统时对应的编码码字；4）若收到一个向量为0000100，用循环码的梅吉特译码方法来译码。1)证明:由于,则.2)的码长为7，维数为4,生成阵为,校验多项式为=,其互反多项式为,则校验阵为,由于1,3,7列相关,则最小距离为3.3)若信源为1110,则非系统时的码字为,由于,则则系统时的码字为,4)所有单个错误伴随式为错误图样伴随式对应H的列（0000001）e6(x)=x61+x21017（0000010）e5(x)=x51+x+x21116（0000100）e4(x)=x4x+x20115（0001000）e3(x)=x31+x1104（0010000）e2(x)=x2x20013（0100000）e1(x)=xx0102第3页共5页（1000000）e0(x)=111001若收到一个向量为1001111,其对应的多项式为,模后的伴随式为,则1001111第7位无错,1001111右循环移一位为1100111,其对应的多项式为,模后的伴随式为,则1100111第7位无错,1100111右循环移一位为1110011,其对应的多项式为,模后的伴随式为,则1110011第7位有错,则原先的向量1001111第5位有错,译成1001011.5.(25分)(15,5,7)二元BCH码以,为根，接收到，求估值码字。这里是的根。解:1.首先计算伴随式：si=R(βi)2.扩域GF(16)及非零元素的阶：元素多项式阶元素多项式阶00α7α3+α+115111α8α2+115αα15α9α3+α5α2α215α10α2+α+13α3α35α11α3+α2+α15α4α+115α12α3+α2+α+15α5α2+α3α13α3+α2+115α6α3+α25α14α3+115s1=α10+α3=α12s2=(s1)2=(α12)2=α9s3=α30+α9=α7s4=(s2)2=(α9)2=α3s5=α50+α15=α10s6=(s3)2=(α7)2=α14根据求得的伴随式构造方程组：设e=t=3第4页共5页计算得：|M|=0可见实际错误个数e
