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高三数学总复习导与练 第十三篇第3节配套课件(教师用) 理 课件VIP免费

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第 3 节 柯西不等式柯西不等式 (1)二维形式:若 a,b,c,d 都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当 ad=bc 时,等号成立. (2)三维形式:若 a1,a2,a3,b1,b2,b3 都是实数,则(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当 b1=b2=b3=0 或存在一个实数 k,使得 a1=kb1,a2=kb2,a3=kb3时,等号成立. 质疑探究:柯西不等式的外在形式如何记忆? 提示:可以理解为“方和积≥积和方”. 2.已知 x+y=1,那么 2x2+3y2 的最小值是( B ) (A)56 (B)65 (C)2536 (D)3625 解析:(2x2+3y2)[( 12)2+( 13)2]≥( 2x× 12+ 3y× 13)2=(x+y)2=1. 当且仅当 2x=3y,即 x=35,y=25时等号成立. ∴56(2x2+3y2)≥1,∴2x2+3y2≥65.故应选 B. 1.设 a,b∈R+,P=a3+b3,Q=a2b+ab2,则 P、Q 间的大小关系是( B ) (A)P>Q (B)P≥Q (C)P0,b>0 且 a≠b,P=a2b +b2a ,Q=a+b,则( A ) (A)P>Q (B)P≥Q (C)Pb>0,则ab>ba,由顺序和≥反序和,则 a·ab+b·ba≥a·ba+b·ab=a+b.又 a≠b,∴a2b +b2a >a+b,故选 A. 4.已知 x,y,z∈R+,且 x+y+z=4,则x+2 y+3z的最大值为________. 解析: ( x+2 y+ 3z)2=(1× x+2× y+ 3× z)2 ≤[12+22+( 3)2][(x)2+( y)2+(z)2] =8×(x+y+z)=32. ∴x+2 y+3z≤4 2(当x1=y4=z3时,即 x=12,y=2,z=32时取等号). 答案:4 2 (对应学生用书第 198 页) 利用柯西不等式证明不等式 【例 1】 设 a,b,c 为正数,且 a+b+c=1,求证:1a+1b+1c≥9. 思路点拨:结合已知条件对所证不等式变形构造柯西不等式的形式证明. 证明:构造两组数:a, b,c; 1a, 1b, 1c.因此根据柯西不等式有[(a)2+(b)2+(c)2][( 1a)2+( 1b)2+( 1c)2] ≥( a× 1a+b× 1b+c× 1c)2. 即(a+b+c)(1a+1b+1c)≥32=9. (当且仅当a1a= b1b= c1c,即 a=b=c 时取等号). 又 a+b+c=1,所以1a+1b+1c≥9. 使用柯西不等式时,关键是将已知条件通过配凑,变为符合柯西不等式条件的式子. 变式探究 11:设 a,b,c 为正数,求证:a2b +b2c +c2a ≥a+b+c. 证明:由柯西不等式知[(...

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