第 18 讲 空间角与距离第第 1818 讲 空间角与距离讲 空间角与距离 主干知识整合第 18 讲 │ 主干知识整合 1．空间角包括异面直线所成的角，直线和平面所成的角和二面角．解(证)与角有关的问题，通常是先定位，后定量．求空间角的方法是： (1)找出或作出有关的平面角； (2)证明它符合定义； (3)归到某一三角形中进行计算，当然也可用空间向量求解． 2．空间角的计算方法都是转化为平面角来计算： (1)两条异面直线所成的角，要以运动观点运用“平移法”，使之成为相交直线所成的角，要充分挖掘图形的性质，寻求平行关系； 第 18 讲 │ 主干知识整合 (2)当直线与平面所成的角是平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角时，我们往往在斜线上取一点向平面引垂线，以形成由平面的斜线、垂线及斜线在平面上的射影组成的直角三角形，这里关键是引平面的垂线，明确垂足的位置． 3．解决点面距、线线距、线面距、面面距的核心是求点面距，而求点面距的方法常见的有三种：直接法、体积转化法和转移法，其中转移法分为“平行转移”和“比例转移”两种． 要点热点探究第 18 讲 │ 要点热点探究► 探究点一 空间的角例 1[2011·广东卷] 如图 18－1，在锥体 P－ABCD 中，ABCD 是边长为 1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝ 2，PB＝2，E，F 分别是 BC，PC的中点． (1)证明：AD⊥平面 DEF； (2)求二面角 P－AD－B 的余弦值． 图 18－1 第 18 讲 │ 要点热点探究【分析】 (1)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则也垂直于另一个；(2)结合(1)可直接作出二面角的平面角，再利用解三角形的知识来求． 【解答】 法一：(1)证明：设 AD 中点为 G，连接 PG，BG，BD. 因 PA＝PD，有 PG⊥AD，在△ABD 中，AB＝AD＝1，∠DAB＝60°，有△ABD 为等边三角形，因此 BG⊥AD，BG∩PG＝G，所以 AD⊥平面PBG，所以 AD⊥PB，AD⊥GB. 又 PB∥EF，得 AD⊥EF，而 DE∥GB 得 AD⊥DE，又 FE∩DE＝E，所以 AD⊥平面 DEF. 第 18 讲 │ 要点热点探究(2) PG⊥AD，BG⊥AD，∴∠PGB 为二面角 P－AD－B 的平面角． 在 Rt△PAG 中，PG2＝PA2－AG2＝74，在 Rt△ABG 中，BG＝AB·sin60°＝ 32 ，∴cos∠PGB＝PG2＋BG2－PB22PG·BG＝74＋34－42· 72 · 32＝－ 217 . 法二：(1)证明：设 AD 中点为 G，因为 PA＝PD，所以 PG⊥AD， 又 AB＝AD，∠DAB＝60°，所以△ABD 为等边三角形...
