专题六 概率与统计 第 1 讲 排列与组合、二项式定理 感悟高考 明确考向 (2010·安徽)( xy－ yx)6 的展开式中，x3 的系数等于________． 解析 设含 x3 项为第(r＋1)项， 则 Tr＋1＝Cr6·( xy)6－r·(－yx )r＝Cr6·x6－r· ·(－y)r· ＝ Cr6· 26ry2rx,)(2626rrrryyx∴6－r－r2＝3， 即 r＝2， ∴T3＝C26·x3·1y2·y2＝C26·x3， x3 的系数为 C26＝6×52 ＝15. 答案 15(只写 C26或 C46也可) 考题分析 本小题考查了二项式定理、二项展开式的通项公式，二项展开式指定项系数的求法．考题难度不大，突出对基础知识的考查．对二项式定理的考查，通常是以考查基础知识为主的小题形式出现． 易错提醒 (1)错用二项展开式的通项公式． (2)根式与指数式转化过程计算出错． (3)易忽略系数的符号(－1)r，可能致误． 主干知识梳理 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． 2．排列与组合 (1)排列：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数公式是 Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成 Amn＝n！(n－m)！. (2)组合：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素组成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数公式是 Cmn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！ 或写成 Cmn ＝n！m！(n－m)！. (3)组合数的性质 ①Cmn＝Cn－mn； ②Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n. 3．二项式定理 (1)定理：(a＋b)n＝C0nanb0＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnna0bn(r＝0,1,2，…，n)． (2)二项展开式的通项 Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中 Crn叫做二项式 系数． (3)二项式系数的性质 ①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即 C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，…，Ckn＝Cn－kn，…. ②最大值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数 取得最大值；当 n 为奇数时，中间的两项的二项式 系数 ， 相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和 a．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n； b．C0n＋C2n＋…＋C2rn ＋...
