函数的奇偶性 y=x2 -xx当 x1=1, x2=--1时， f(-1)=f(1)当 x1=2, x2=--2时， f(-2)=f(2)对任意 x ， f(-x)=f(x) xy1 偶函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x ） =f(x) 。那么 f(x) 就叫偶函数。奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x ） =-f(x) 。那么 f(x) 就叫奇函数。 例 1 、判断下列函数的奇偶性21)(xxf)(),(1)(1)(22xfxfxxxf（ 3）解： (1) 因为 f(-x)=2x=-f(x), 所 以 f(x)是奇函数。(2)因为 f(-x)=|-x|-2=|x|-2=f(x), 所以 f(x) 是偶函数。 (3)因为是偶函数。xxf2)(2)( xxf（ 1） （ 2）判断奇偶性，只需验证 f(x) 与 f(-x) 之间的关系。判断奇偶性，只需验证 f(x) 与 f(-x) 之间的关系。 02)2(4)(xxxf12)( xxf（ 5 ）（ 6 ）（ 4 ） ])1,3[(x2)(xxf定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件。定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件。]1,3[22由于时当，x故 f(2) 不存在，所以就谈不上与 f(-2) 相等了，由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。解：（ 4 ） （ 5 ）函数的定义域为 [-2,2), 故 f(2) 不存在，同上可知函数没有奇偶性。（ 6）)()()()(,12)(xfxfxfxfxxf且故函数没有奇偶性。 思考：在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数，有的是偶函数不是奇函数，也有既不是奇函数也不是偶函数的。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？f(x)=0是不是具备这样性质的函数解析式只能写成这样呢？ 例 2 、已知函数 f(x) 既是奇函数又是偶函数。求证： f(x)=0证明：因为 f(x) 既是奇函数又是偶函数所以 f(-x)=f(x), 且 f(-x)=-f(x)所以 f(x)= -f(x)所以 2f(x)=0即 f(x)=0.这样的函数有多少个呢？多个所以这样的函数有无数奇函数又是偶函数既是所以具有这样但它们都显然是不同的函数和如若改变函数的定义域只是解析式的特征，，，，xxfxxf，，xf},2,1012{,0)(]1,1[,0)()( 函数按是否有奇偶性可分为四类：奇函数偶函数既是奇函数又是偶函数既不是奇函数又不是偶函数 例 3 、判断下列函数的奇偶性 )()(2Raaxfbkxxf)()1(1 、解：当 b=0 时， f(x) 为奇函数，当 b 0 时， f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数。2 、解：当 a=0 时， f(x) 既是奇函数又是偶函数，当 a 0 时， f(x)是偶函数。 小结：小结：•奇偶性的概念•判断奇偶性时要注意的问题
