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圆中的有关定理 垂径定理●OABCDM└ 提示 : 垂径定理是圆中一个重要的结论 ,三种语言要相互转化 ,形成整体 ,才能运用自如 .垂径定理：垂直于弦的直径平分弦垂径定理：垂直于弦的直径平分弦 ,, 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧如图 CD 是直径 ,CDAB,⊥∴AM=BM,⌒⌒ AC= BC,⌒⌒ AD = BD.垂径定理的逆定理：平分弦的直径垂直于这条弦 典型例题解析【例 1 】在直径为 400mm 的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽 320mm ，求油的深度 .【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图 (1) 和 (2)图 (1) 中OC==120(mm)∴CD=80(mm)图 (2) 中 OC=120(mm)∴CD=OC+OD=320(mm)2222160200BCOB典型例题解析 典型例题解析【例 2 】 (2003 年 · 广州市 ) 如图， A 是半径为 5 的⊙ O 内的 一点，且 OA=3 ，过点 A 且长小于 8 的弦有 ( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.4 条 【解析】这题是考察垂径定理的几何题，先求出垂直于OA 的弦长 BC=2 =8 即过 A 点最短的弦长为 8 ，故没有弦长小于 8 的弦，∴选 (A)22OAOB  例 3: 如图 , 某地有一圆弧形拱桥 , 桥下水面宽为 7.2 米 , 拱顶高出水面 2.4 米 .现有一艘宽 3 米、船 舱顶部为长方形并高出水面 2 米的货船要经过这里 , 此货船能顺利通过这座拱桥吗？. 典型例题解析相信自己能独立完成解答解 : 如图 , 用 表示桥拱 , 所在圆的圆心为 O, 半径为Rm,经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OD,D 为垂足 , 与 相交于点 C. 根据垂径定理 ,D 是 AB 的中点 ,C 是 的中点 ,CD 就是拱高 .由题设得ABABABAB.5.121,4.2,2.7MNHNCDABABAD21,6.32.721DCOCOD.4.2R在 Rt OAD△中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4.2(6.3222RR即解得 R≈3.9 （ m ） .在 Rt ONH△中，由勾股定理，得,22HNONOH.6.35.19.322OH即.21.25.16.3DH∴ 此货船能顺利通过这座拱桥 .相交弦定理和切割弦定理 相交弦定理及其推论定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的 积相等 (PA·PB=PC·PD)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直 径所成的两条线段的比例中项 (PC2=PD2=P...