专题四 解析几何 第 1 讲 直线与圆 感悟高考 明确考向 (2010·山东)已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上．直线l：y＝x－1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为_____________． 解析 设圆心坐标为(x0,0)(x0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径 r＝|x0－1|.圆心到直线 l 的距离为 d＝|x0－1|2 . 由弦长为 2 2可知|x0－1|22＝(x0－1)2－2， 整理得(x0－1)2＝4.∴x0－1＝±2，∴x0＝3 或 x0＝－1(舍去)． 因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线 y＝x－1 垂直的直线方程为 y＝－(x－3)，即 x＋y－3＝0. x＋y－3＝0 考题分析 本小题考查了直线的方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式及圆的弦长、弦性质等．试题以直线与圆为背景，引入圆心坐标，以垂径定理为依据，构建方程，是解决该题的关键． 易错提醒 (1)不能熟练应用垂径定理，构建方程． (2)易忽视题目限制条件．如圆心在 x 轴的正半轴上． (3)所求直线斜率是直线 l 的斜率的负倒数．这也是许多考生易错的知识点． 主干知识梳理 1．直线的方程 (1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾斜角的范围． (2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况． (3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解． (4)求直线方程的主要方法是待定系数法．在使用待定系数法求直线方程时，要注意方程的选择，注意分类讨论的思想． (5)在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．另外，解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题． (6)判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线l1，l2 斜率都存在，且不重合的条件下，才有 l1∥l2⇔ k1＝k2 与 l1⊥l2⇔ k1k2＝－1. (7)在运用公式 d＝|C1－C2|A2＋B2求平行直线间的距离时，一定要把 x，y 项的系数化成相等的系数． 2．圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为(a，b)，半径为 r. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－ 4F>0)，圆心为(－D2，－E2)，半径为 r＝ D2＋E2－4F2； 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的 充要条件是 B＝0，A＝C≠0，D2＋E2－4AF>0. (3)圆的方程中有...
