规范答题 19 审题不细，对条件的使 用不当考题再现（ 2009· 山东， 19 ）在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次 . 某同学在A处的命中率 q1 为 0.25 ，在 B 处的命中率为 q2. 该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用 ξ 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 (1) 求 q2 的值；（ 2 ）求随机变量 ξ 的数学期望 E （ ξ ）；（ 3 ）试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小 .ξ02345P0.03p1p2p3p4学生作答解 （ 1 ）（ 1-q1 ） (1-q2)2=0.03 ∴q2=0.8 （ 2 ） p1=(1-q1)·q2=0.25×0.8=0.2 p2=q1(1-q2)2=0.25×0.22=0.01 23121412221234(1)0.48C(1)0.25 2 0.8 0.20.080 0.0323452.75pq qpqqqEPPPP （ ）分概率大处投篮超过都在则分处投篮超过若都在3896.0)1(C356.0)3(43222122243BPPPqqqqPBPP规范解答解 （ 1 ）由题设知，“ ξ=0” 对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知P （ ξ=0 ） = （ 1-q1 ）（ 1-q2 ） 2=0.03 ，解得 q2=0.8.（ 2 ）根据题意p1=P （ ξ=2 ）= （ 1-q1 ） （ 1-q2 ） q2=0.75×2×0.2×0.8=0.24.p2=P （ ξ=3 ）=q1 （ 1-q2 ） 2=0.25× （ 1-0.8 ） 2=0.01.p3=P （ ξ=4 ） = （ 1-q1 ） =0.75×0.82=0.48.p4=P （ ξ=5 ） =q1q2+q1 （ 1-q2 ） q212C22q=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24.因此 E （ ξ ） =0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63(3) 用 C 表示事件“该同学选择第一次在 A 处投，以后都在 B 处投，得分超过 3 分”，用 D 表示事件“该同学选择都在 B 处投，得分超过 3 分”，则P （ C ） =P （ ξ=4 ） +P （ ξ=5 ） =p3+p4=0.48+0.24=0.72.P(D)= + q2(1-q2)q2=0.82+2×0.8×0.2×0.8=0.896.故 P （ D ） >P(C).即该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大于该同学选择第一次在 A 处投以后都在 B 处投得分超过 3分的概率 .22q12C老师忠告该生（ 1 ）问中缺少必要的文字说明，利用“三次投篮一次也没中 P （ ξ=0 ） =0.03” 列方程，（ 3 ）问中也未指明 p3+p4 是什么意思 , （ 2 ）问中求 p1 时后 2投符合二项分布，注意题目中条件超过 3 分即停止，求 p4时应分类，前 2 投中则停止，第 1 投中第 2 投不中才投第 3 中 . 返回
