第 14 讲 空间向量与立体几何 第第 1414 讲 空间向量与立体几何讲 空间向量与立体几何主干知识整合第 14 讲 │ 主干知识整合 1．空间向量 (1)加减法和线性运算； (2)共线向量定理； (3)共面向量定理; (4)空间向量基本定理； (5)空间两个向量的夹角；空间两向量夹角的范围是[0，π]，即 0≤〈a，b〉≤π； (6)向量的数量积； (7)空间向量的坐标运算． 第 14 讲 │ 主干知识整合 2．夹角计算公式 (1)线线角：直线与直线所成的角为 θ，如两直线的方向向量分别为 a，b，则 cosθ＝|cos〈a，b〉|； (2)线面角：直线与平面所成的角为 θ，如直线的方向向量为a，平面的法向量为 n，则 sinθ＝|cos〈a，n〉|； (3)面面角：两相交平面所成的角为 θ，两平面的法向量分别为 n1 和 n2，则 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，其特殊情况是两个半平面所成的角即二面角，也可以用这个公式解决，但要判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况以决定 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|还是cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|. 第 14 讲 │ 主干知识整合 3．距离公式 (1)点点距：点与点的距离，以这两点为起点和终点的向量的模； (2)点线距：点 M 到直线 a 的距离，如直线的方向向量为 a，直线上任一点为 N，则点 M 到直线 a 的距离 d＝|MN→ |sin〈MN→ ，a〉； (3)线线距：两平行线间的距离，转化为点线距离；两异面直线间的距离，转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度； (4)点面距：点 M 到平面 α 的距离：如平面 α 的法向量为 n，平面α内任一点为N，则点M到平面α的距离d＝|MN→ ||cos〈MN→ ，n〉|＝|MN→ ·n||n|； (5)线面距：直线和与它平行的平面间的距离，转化为点面距离； (6)面面距：两平行平面间的距离，转化为点面距离. 要点热点探究第 14 讲 │ 要点热点探究 例 1 如图 14－1，在底面是矩形的四棱锥中 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，E，F 分别是 PC，PD 的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求证：EF∥平面 PAB； (2)求证：平面 PAD⊥平面 PDC； (3)求二面角 A－PD－B 的余弦值． 图 14－1 ► 探究点一 利用空间向量证明空间位置关系第 14 讲 │ 要点热点探究 【分析】 建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明EF→ ∥AB→ 即可证明第一问，第二问根据向量的垂直关系证明线线垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直，第三问使用平面法向量的方法求解． 第...
