第十一节 函数的值域与最值第十一节 函数的值域与最值考 点 串 串 讲 1．对函数值和函数值域概念的理解 (1)函数值与函数值域是两个相关概念，函数值是一个局部概念，函数值域是一个整体概念．函数值域是函数值的集合，该函数的所有的函数值都在该函数的值域中，函数的值域中的每一个元素都是该函数的一个函数值． (2)确定函数值域取决于这一函数的定义域和对应法则．一般地，若一个函数的定义域和对应法则中有一个不相同，求得的函数值域就可能不同，即使是对于同一个对应法则给出的函数，若改变了它的定义域，所求的值域也可能不同． 2．函数的最大值与最小值的定义 (1)定义 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 D，x0∈D.如果对于任意的x∈D，均有 f(x)≤f(x0)，则称 f(x0)为函数 f(x)的最大值，记作 f(x)max＝f(x0)； 如果对于任意的 x∈D，均有 f(x)≥f(x0)，则称 f(x0)为函数 f(x)的最小值，记作 f(x)min＝f(x0)． (2)对最值的理解 ①从图像上看，函数的最大值就是图像上最高处点的纵坐标；函数的最小值就是图像上最低处点的纵坐标． 函数 y＝f(x)的图像如图所示． 可知当 x＝32时函数的最大值为 1，当 x＝－1 时最小值为－32. ②从定义中可以看出函数的最大值是函数值域中的最大者，函数的最小值是函数值域中的最小者． 因此要证明或判断一个数是函数的最大(小)值，就必须证明或判断值域中的其他数都比它小(大)，这就需要用到有关不等式的知识． ③极值与最值 极值是函数的局部性质，极大(小)值是函数在某一区间上的最大(小)值，而最大值与最小值则分别是函数在整个定义域内的最大的函数值和最小的函数值． ④并不是所有的函数都有最大值与最小值． 如：函数 y＝x3(x∈R)在定义域内就没有最大值，也没有最小值． 3．函数值域的求法 (1)列举法 即直接根据函数的定义域与对应法则将函数值一一求出来写成集合形式．这种方法只适于值域 B 中元素为有限或虽然是无限但却是与自然数有关的集合． 如： f(x)＝ 1 x为有理数0 x为无理数 函数的值域为{0,1}． (2)逐层求值域法：逐层求值域法就是根据 x 的取值范围一层一层地去求函数的值域． 逐层求值域法适用于函数解析式中只有一个地方出现变量 x. (3)分离常数法 形如 y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数，这种类型的函数值域经常使用“分离常数法”求解． (4)配方法 配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如 F(x)＝a[f...
