§ 2.5.1 等比数列的前 n 项和 数学小故事: 国际象棋起源于印度。棋盘上共有 8 行 8 列构成 64 个格子。传说国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘的第 1 个格子里放上 1 颗麦粒,在棋盘的第 2 个格子里放上 2 颗麦粒,在棋盘的第 3 个格子里放上 4 颗麦粒,在棋盘的第 4 个格子里放上 8 颗麦粒,以此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍,直到第 64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求。”国际象棋盘一、创设情境 就在国王犹豫是否要答应发明者的要求时,站在一旁一位将告老还乡的大臣听后不满地说:“我跟陛下这么多年战功卓著,请求陛下同样赏赐给我麦子,在棋盘的第一格子里放上 2 颗麦粒,在第 2 个格子里放上 4 颗麦粒,在第 3 个格子里放上 8 颗麦粒,依次类推,每一个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍,直到放完64 个格子为止。” 问题探究:23636412222S 64S2364642222T 1 、发明者所需麦粒数的表达式为:2 、大臣所需麦粒数的表达式为:3 、如何简化 ?642S2363641 2222S 2363646422 22 2 2S ①② 由②-①得646421S =-而641964 21 18,446,744,073,709,551,615 1.84 10S=-= 假定千粒麦子的质量为 40 克,那么发明者所要的麦粒的总质量超过了 7000 亿吨,是全世界 1000 多年的小麦总产量 . 因此,国王不能他们的要求 .练习:求和2315161 3333S 23151616333333S 提示:1616312S①② na211111...nnSaa qa qa q 探究:等比数列 首项是 ,公比是q ,求其前 n 项和 1a211111 nnSaa qa qa q ① 211111nnnqSa qa qa qa q② 由① -② 得 1nnqq (1- )S等式两边能否同除以( 1-q )?11,nqSna(1)当时11,nnaqqSq (1- )(2)当时1-需要分类讨论!11 ,nqSna(1)当时11 ,nnaqqSq (1- )(2)当时1-因为11nnaa q1nna a qSq-或1-①② 1, , a q n若已知则选用公式① ; 1, ,na q a若已知则选用公式② 。例题:求下列等比数列前 n 项的和:191(3)27,,0.243aaq11(1),1,100;2aqn113(2)2,,.34naqa1001110010050.2Sa1312()...