求抛物线的标准方程 【例 1 】求定点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 ( － 3,2) 的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程． 2222220(3,2)42(3)922293449321938ypxxpy pppppyxxyxy设所求的抛物线方程为 ＝－或 ＝．因为抛物线过点 －，所以 ＝－－ 或 ＝，解得 ＝ 或 ＝所以所求抛物线的方程为 ＝－或 ＝，对应的准线方程分别是 ＝ ，解析＝－【】 求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数 p. 从实际分析，一般需确定 p 和开口方向两个条件，有时需要相应的讨论． 【变式练习 1 】求顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线 x － 2y － 4 ＝ 0 上的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程． 220204.4,0(02)4,0482164(02)24282.xyyxppyxxppxyy令 ＝ ，得 ＝－ ；令 ＝ ，得 ＝所以抛物线的焦点为或 ，－ ．当焦点为时， ＝ ，所以 ＝ ，此时抛物线的方程为 ＝，准线方程为 ＝－ ；当焦点为 ，－ 时， ＝ ，所以 ＝ ，此【时抛物线的方程为 ＝－ ，准线方程为】＝解析抛物线的几何性质 【例 2 】已知 A 、 B 是抛物线 y2 ＝ 2px(p>0) 上的两点，且 OA⊥OB(O 为坐标原点 ) ，(1) 求证： A 、 B 这两点的横坐标之积为定值，纵坐标之积也是定值；(2) 求证：直线 AB 过定点；(3) 求线段 AB 中点 M 的轨迹方程． 11222211221212121222221212121221221212() ()2202244144ABxyxyypxypxOAOBx xy yx xy yy ypxpxp x xp y yy ypx xy yp证明：设 、 坐标分别为，， ，，则 ＝， ＝，因为，所以＋＝ ，即＝－，所以＝＝＝－，所以＝－为定值；＝－＝也【解析】是定值． 2212121212122112211221111212211211212121221212122()()222 ()222()()222242(2 )yyyyyypxpxp xxyypxxxxyyppyAByyxxxyyyyppypy yyxyxyyyyyyyypppxxpyyyyyy证明：因为＝－＋＝－＝－，又，所以＝所以的方程为： － ＝－＝－，所以 ＝＝＋＝－所以直线2 ,0ABp过定点2211222212121212222222,22 ()()224842(2(3))ypx ypxyyp xxM xyyyyxxxyppxypxpyp xp因为所以＝＋，设， ，则 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，所以＋＝＝－＝－． p 的规律性结论很多，我们都可围绕定义，同时适时运用点差法即可求得．设 AB 为过抛物线 y2＝ ±2px(p>0) 焦点的弦，设 A(x1 ， y1...
