第二节 直线的交点坐标与距离公式直线的交点问题求经过直线 l1 ： 3x ＋ 2y － 1 ＝ 0 和 l2 ： 5x＋ 2y ＋ 1 ＝ 0 的交点且垂直于直线 l3 ： 3x －5y ＋ 6 ＝ 0 的直线 l 的方程． 分析 本题可以先求交点坐标，然后由直线间位置关 系求解，也可以先设出直线系方程，后代入点具体求解． 【解】 方法一：由 得 l1， l2的交点 P( － 1,2) ． 又 l3的斜率 k3＝ ，∴ l 的斜率 k ＝ ， ∴l ： y － 2 ＝ (x ＋ 1) ，即 5x ＋ 3y － 1 ＝ 0.533501250123yxyx35 方法二：由 l⊥l3，可设 l ： 5x ＋ 3y ＋ c ＝ 0. l1， l2的交点可以求得 P( － 1,2) ， ∴5×( － 1) ＋ 3×2 ＋ c ＝ 0 ，∴ c ＝－ 1 ∴l ： 5x ＋ 3y － 1 ＝ 0.方法三： l 过 l1， l2的交点，故设 l ： 3x ＋ 2y － 1 ＋ λ(5x ＋ 2y ＋ 1) ＝ 0 ，即 (3 ＋ 5λ)x ＋ (2 ＋ 2λ)y ＋ ( － 1 ＋ λ) ＝ 0 ，∴ ＝ ，解得 λ ＝ ，代入上式整理得l ： 5x ＋ 3y － 1 ＝ 0.22535135 规律总结 三种解法都能比较迅速地解决问题，但方法一、方法二都是在两直线的斜率存在的前提下进行的，如果其中含有字母参数之类的，则要进行分类讨论；运用直线系方程时，则必须对直线系中不包含的直线进行检验．因此，本题的三种解法应该是各有优缺点． 变式训练 1 已知两直线 2x － my ＋ 4 ＝ 0 和 2mx＋ 3y － 6 ＝ 0 的交点在第二象限，求实数 m 的取值范围．【解析】 由解得两直线的交点坐标为 ， < 0由交点在第二象限知 ⇒
