与椭圆的弦的中点有关的问题，称为椭圆的中点弦问题。一、以定点为中点的弦所在直线的方程例 1 、过点 A （ 2 ， 1 ）的直线与椭圆 相交于 P 、 Q两点，若点A 恰好是线段 PQ 的中点，求直线PQ的方程。221169xy方法一：解方程组方法一：点差法 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为 A(x1,y1) 、 B(x2,y2) ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。二、过定点的弦的中点坐标和中点轨迹例 2 、已知椭圆 的一条弦的斜率为 3 ，它与直线 的交点恰为这条弦的中点 M ，求点 M的坐标。1257522 xy21x例 3 ：已知椭圆 , 求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程。1257522 xy注意：弦中点的轨迹应在曲线内三、求与中点弦有关的椭圆的方程例 4 、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程。(0,5 2)F23: xyl21练习巩固: 1、若椭圆221369xy 的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为( ) (A)2 (B)-2 (C) 13 (D)12 2、椭圆 mx2+ny2=1 与直线 y =1-x 交于 M、N 两点，过原点与线段 MN 的中点的直线斜率22 ，则 nm的值是( ) (A) 22 (B)322 (C)229 (D) 2732 D A
