第 3 讲 立体几何中的向量方法 感悟高考 明确考向 (2010·浙江)如图，在矩形 ABCD 中，点 E， F 分别在线段 AB，AD 上，AE＝EB＝AF＝ 23FD＝4.沿直线 EF 将△AEF 翻折成△A′EF， 使平面 A′EF⊥平面 BEF. (1)求二面角 A′－FD－C 的余弦值； (2)点 M，N 分别在线段 FD，BC 上，若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折，使 C 与 A′重合，求线段 FM的长． 解 方法一 (1)取线段 EF 的中点 H，连接 A′H， A′E＝A′F 及 H 是 EF 的中点， ∴A′H⊥EF. 又 平面 A′EF⊥平面 BEF，A′H⊂ 平面 A′EF， ∴A′H⊥平面 BEF. 如图(1)，建立空间直角坐标系 A－xyz， 则 A′(2,2，2 2)，C(10,8,0)，F(4,0,0)， D(10,0,0)． 设 n＝(x，y，z)为平面 A′FD 的一个法向量， ∴n n ∴ －2x＋2y＋2 2z＝0，6x＝0， 故).0,0,6(),22,2,2(FDAF,0 AF,0FD取 z＝ 2，则 n＝(0，－2， 2)． 又平面 CFD 的一个法向量 m＝(0,0,1)， 故 cos〈n，m〉＝ n·m|n||m|＝ 33 . ∴二面角 A′－FD－C 的余弦值为 33 . (2)设 FM＝x，则 M(4＋x,0,0)， 翻折后 C 与 A′重合，∴CM＝A′M， 故(6－x)2＋82＋02＝(－2－x)2＋22＋(2 2)2，得 x＝214 ， 经检验，此时点 N 在直线 BC 上． ∴FM＝214 . 方法二 (1)如图(2)，取线段 EF 的中点 H，AF 的中点G，连接 A′G，A′H，GH， A′E＝A′F 及 H 是 EF 的中点， ∴A′H⊥EF. 又 平面 A′EF⊥平面 BEF， A′H⊂ 平面 A′EF， ∴A′H⊥平面 BEF. 又 AF⊂ 平面 BEF，故 A′H⊥AF. 又 G，H 是 AF，EF 的中点， ∴GH∥AB，∴GH⊥AF. 又 GH∩A′H ＝ H ， ∴AF⊥ 平 面A′GH ，∴AF⊥A′G， ∴∠A′GH 为二面角 A′－DF－C 的平面角． 图 2在 Rt△A′GH 中，A′H＝2 2，GH＝2，A′G＝2 3， ∴cos∠A′GH＝ 33 . 故二面角 A′－FD－C 的余弦值为 33 . (2)设 FM＝x， 翻折后 C 与 A′重合，∴CM＝A′M， 而 CM2＝DC2＋DM2＝82＋(6－x)2， A′M2＝A′H2＋MH2＝A′H2＋MG2＋GH2＝(2 2)2＋(x＋2)2＋22，解得 x＝214 ， 经检验，此时点 N 在线段 BC 上，∴FM＝214 . 考题分析 本题主要考查二面角的求解和线段长度的计算．考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，灵活选择不同方法解决问题的应变能...
