第 71 讲 定点、 定值、最值和参变量范围问题 【学习目标】 掌握与圆锥曲线有关的定点问题、定值问题的求解方法；会运用代数、三角、几何等方法解决与圆锥曲线有关的探究与推导最值问题，培养推理思维能力、运算能力． 【基础检测】 1．若曲线 C：λx2－x－λy＋1＝0(λ∈R)恒过定点 P，则点 P 的坐标是( ) A．(0，1) B．(－1，1) C．(1，0) D．(1，1) 【解析】由原曲线方程可得(x－1)＋λ(y－x2)＝0 过定点，则y－x2＝0x＝1，求得x＝1y＝1，即定点 P 的坐标为(1，1)． D 2．抛物线 y＝x2上一点到直线 2x－y－4＝0 的距离最短的点的坐标是( ) A.12，14 B．(1，1) C.32，94 D．(2，4) 【解析】方法一：设抛物线上任一点为(x，y)，则由点到直线的距离得 d＝|2x－y－4|5＝|2x－x2－4|5＝|（x－1）2＋3|5＝（x－1）2＋35≥ 35. 当 x＝1 时，取得最小值，此时点的坐标为(1，1)． 方法二：设 2x－y＋m＝0 与 y＝x2相切，则 x2－2x－m＝0. Δ＝4＋4m＝0，∴m＝－1，此时 x＝1，∴点的坐标为(1，1)． 方法三：(导数法)y＝x2的导数为 y′＝2x，设所求点为 P(x0，y0)，则 2x0＝2. ∴x0＝1，∴P(1，1)． B 3．(2013 全国)椭圆 C：x24 ＋y23 ＝1 的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 在 C 上且直线 PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线 PA1斜率的取值范围是( ) A.12，34 B.38，34 C.12，1 D.34，1 【解析】椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设 P(x0，y0)，则 kPA1kPA2＝ y0x0＋2· y0x0－2＝ y02x02－4，而x024 ＋y023 ＝1，即 y02＝34(4－x02)，所以 kPA1kPA2＝－34，所以 kPA1＝－34kPA2∈38，34 . B 4．已知抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点 M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为 5，双曲线x2a －y2＝1 的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 的值 是_____． 【解析】根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x＝－4，则抛物线方程为 y2＝16x. 把 M(1，m)代入得 m＝4，即 M(1，4)．在双曲线x2a－y2＝1 中，A(－ a，0)，则 kAM＝41＋ a＝ 1a，解得 a＝19. 19【知识要点】 1．定点与定值问题的解决，一般通过取极端位置(即特定位置)探索出定点或定值，然后再进行一般性证明． 2．求圆锥曲线的有关最值，常用方法有...
