第 3 讲 函数与方程及函数的应用 【高考真题感悟】 (2011·陕西)函数 f(x)＝ x－cos x 在[0，＋∞)内有________个零点． 解析 在同一直角坐标系中分别作出函 数 y＝ x和 y＝cos x 的图象，如图，由 于 x>1 时，y＝ x>1，y＝cos x≤1，所 以两图象只有一个交点，即方程 x－cos x ＝0 在[0，＋∞)内只有一个根， 所以 f(x)＝ x－cos x 在[0，＋∞)内只有一个零点． 1考题分析 本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，突出考查了考生的转化与化归能力以及应用数形结合解决问题的能力，体现了对知识、思想方法和能力的考查． 易错提醒 (1)不能将函数零点问题转化为函数图形交点的问题，亦即缺乏转化的意识． (2)图形描绘不准确，导致误判． 主干知识梳理 1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数 f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数 F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程 f(x)＝g(x)的根，即函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝g(x)的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根． 注意以下两点： ①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数的应用 函数应用的基本过程为 热点分类突破 题型一 函数零点的判定 例 1 若函数 f(x)＝|4x－x2|－a 的零点个数为 3，则 a＝________. 思维启迪 f(x)的零点的个数即为函数 y＝|4x－x2|与 y＝a 的图象的交点的个数，所以用数形结合的思想方法求解． 解析 y＝|x2－4x|的图象如图 函数 y＝|x2－4x|的图象与函数 y＝4 的图象恰有 3 个公共点，∴a＝4. 4探究提高 (1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有 ①函数零点值或大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解． (2)函数零点(即方程的根)的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是用函数方程思想或数形结合...
