第 5 讲 数列的综合应用知 识 梳 理1 ．等差数列和等比数列的综合等差数列中最基本的量是其首项 a1和公差 d ，等比数列中最基本的量是其首项 a1和公比 q ，在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的．2 ．数列和函数、不等式的综合(1) 等差数列的通项公式和前 n 项和公式是 ( 在公差 d≠0 的情况下 ) 关于 n 的一次和二次函数．(2) 等比数列的通项公式和前 n 项和公式在公比 q≠1 的情况下是公比 q 的指数函数模型．(3) 数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．3 ．数列的应用题(1) 等差模型：如果增加 ( 或减少 ) 的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加 ( 或减少 ) 的量就是公差．(2) 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3) 递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an 与 an ＋ 1 的递推关系，还是 Sn与 Sn ＋ 1之间的递推关系．辨 析 感 悟1 ．等差数列与等比数列的综合问题(1) 在等差数列 {an} 中，首项 a1公差 d 、前 n 项和 Sn、通项an 、项数 n ，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个．(√)(2) 在等比数列 {an} 中，首项 a1 、公比 q 、前 n 项和 Sn 、通项 an、项数 n ，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个．(√)(3) 一个细胞由 1 个分裂为 2 个，则经过 5 次分裂后的细胞总数为 63.(×)2 ．增长率与存贷款利息问题(4) 某厂生产总值月平均增长率为 q ，则年平均增长率为12q.(×)(5) 采用单利计息与复利计息的利息都一样．(×)[ 感悟 · 提升 ]1 ．一个区别 “单利计息”与“复利计息”单利计息属于等差数列模型，复利计息属于等比数列模型．复利也就是通常说的“利滚利”．计算本利和的公式是本利和＝本金 ×(1 ＋利率 ) 存期，如 (5) ．2 ．一个防范 数列的实际应用问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求解，如 (3) 、 (4). 考点一 等差、等比数列的综合问题【例 1 】 (2013· 新课标全国Ⅱ卷 ) 已知等差数列 {an} 的公差不为零， a1＝ 25 ，且 a1， a11， a13成等比数列．(1) 求 {an} 的通项公式...
