思考 1思考 2复习引入练习答案作业:课本54P6 题 数学归纳法证明不等式 数学归纳法证明不等式 1. 验证第一个命题成立 ( 即 n ＝ n0 第一个命题对应的 n 的值，如 n0 ＝ 1) ( 归纳奠基） ； 2. 假设当 n=k 时命题成立，证明当 n=k ＋ 1 时命题也成立 ( 归纳递推） .数学归纳法 : 关于正整数 n 的命题 ( 相当于多米诺骨牌 ), 我们可以采用下面方法来证明其正确性： 由 (1) 、 (2) 知，对于一切 n≥n0 的自然数 n 都成立！用上假设，递推才真注意 : 递推基础不可少 , 归纳假设要用到 , 结论写明莫忘掉 .练习：用数学归纳法证明不等式 sinsinnn≤ 证明:⑴当1n 时,上式左边 sin 右边,不等式成立. 练习：用数学归纳法证明不等式 sinsinnn≤ ⑵设当(1)nk k≥时,不等式成立,即有 sinsinkk≤. 那么,当1nk 时, sin(1)k= 思考 1：证明贝努利不等式 如果 x 是实数，且1x ，0x ， n 为大于1 的自然数，那么有(1)1nxnx . 答案注：事实上，把贝努利不等式中的正整数 n改为实数 仍有类似不等式成立. 当 是实数,且0或时,有(1)1xx≥(1)x 当 是实数,且 01 时,有(1)1xx≤(1)x 证明贝努利不等式你有第二种方法吗？例 4 、已知 x> 1 ，且 x0 ， nN* ， n≥2 ．求证： (1+x)n>1+nx.（ 2 ）假设 n=k(k≥2) 时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx当 n=k+1 时，因为 x> 1 ，所以 1+x>0 ，于是左边 =(1+x)k+1证明 :(1) 当 n=2 时，左＝ (1 ＋ x)2=1+2x+x2 x0 ，∴ 1+2x+x2>1+2x= 右 ,∴n=2 时不等式成立 =(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2 ；右边 =1+(k+1)x ．因为 kx2 ＞ 0 ，所以左边＞右边，即 (1+x)k+1>1+(k+1)x ．这就是说，原不等式当 n=k+1 时也成立．根据 (1) 和 (2) ，原不等式对任何不小于 2 的自然数 n 都成立 .1 答案2 答案注：这一命题与均值不等式是等价的. 你能根据上面不等式推出均值不等式吗？思考 2 证明:如果 (n n 为正整数)个正数12,,,na aa的乘积121na aa ,那么它们的和12naaan≥ . 思考 2 证明:如果 (n n 为正整数)个正数12,,,na aa的乘积121na aa ,那么它们的和12naaan≥ . 证明:⑴当1n 时,有11a ，命题...
