本章优化总结知识体系网络专题探究精讲专题一专题一 不等式与函数、方程、数列的综合问题1 ．利用不等式的性质、不等式的证明方法、解不等式等知识可以解决函数中的有关问题，主要体现在：利用不等式求函数的定义域、值域、最值、证明单调性等．2 ．利用函数、方程、不等式之间的关系，可解决一元二次方程根的分布问题．3 ．不等式与数列的综合题经常出现在高考压轴题中，主要体现在比较数列中两项的大小等．例例 11m 为何值时，关于 x 的方程 8x2 － (m － 1)x＋ (m － 7) ＝ 0 的两根： (1) 为正根； (2) 为异号根且负根绝对值大于正根； (3) 都大于 1 ； (4) 一根大于 2 ，一根小于 2.【分析】 本题看似考查二次方程根的问题，细看是考查不等式问题，再分析可见是考查三个“二次” ( 即一元二次方程、一元二次不等式、二次函数 ) 的问题，找出这一本质是解决本题的关键．【解】 设方程两根为 x1，x2，则 (1) Δ≥0，x1＋x2＞0，x1x2＞0， 即 [－m－1]2－4×8×m－7≥0，－－m－18＞0，m－78＞0. 解得 7＜m≤9 或 m≥25. (2) Δ＞0，x1＋x2＜0，x1x2＜0， 即 [－m－1]2－4×8×m－7＞0，－－m－18＜0，m－78＜0. 解得 m＜1. (3) Δ≥0，x1＋x2＞2，x1－1x2－1＞0.解得 m≥25. (4) Δ＞0，x1－2x2－2＜0. 解得 m＞27. 【点评】 三个“二次”之间的关系是实现它们之间相互转化的桥梁．联系三个“二次”的纽带是二次函数的图象，利用图象的形象直观可以准确把握三个“二次”之间的关系，牢固地记忆相关结论．同时，在分析、解决具体问题时，利用二次函数图象可以帮助我们迅速找到解题方法．例例 22正数数列{an}的前 n 项的和 Sn 满足 2 Sn＝an＋1，试求： (1)数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝1anan＋1，数列{bn}的前 n 项的和为 Bn， 求证：Bn＜12. 【分析】 应先求和再放缩．【解】 (1)由已知得 4Sn＝(an＋1)2，n≥2 时，4Sn－1＝(an－1＋1)2，作差得：4an＝a2n＋2an－a2n－1－2an－1，所以(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.又因为{an}为正数数列，所以 an－an－1＝2，即{an}是公差为 2 的等差数列，由 2 S1＝a1＋1，得 a1＝1，所以 an＝2n－1.即数列{an}的通项公式为 an＝2n－1. (2)证明：bn＝1anan＋1＝12n－12n＋1 ＝12(12n－1－12n＋1)， 所...
