第 2 讲 三角变换与解三角形 【高考真题感悟】 (2011·山东)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知cos A－2cos Ccos B＝2c－ab. (1)求sin Csin A的值； (2)若 cos B＝14，△ABC 的周长为 5，求 b 的长． 解 (1)由正弦定理，可设 asin A＝ bsin B＝csin C＝k， 则2c－ab＝2ksin C－ksin Aksin B＝2sin C－sin Asin B， 所以cos A－2cos Ccos B＝2sin C－sin Asin B， 即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B， 化简可得 sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又 A＋B＋C＝π，所以 sin C＝2sin A．因此sin Csin A＝2. (2)由sin Csin A＝2，得 c＝2a.由余弦定理及 cos B＝14， 得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2. 所以 b＝2a.又 a＋b＋c＝5，所以 a＝1，因此 b＝2. 考题分析 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识．考查了考生的运算能力，以及运用知识综合分析、解决问题的能力．题目典型常规、难度适中． 易错提醒 (1)注意化归思想的应用，即将题中的条件都转化为角的关系或都转化为边的关系． (2)不能正确进行三角恒等变换． (3)易忽略隐含条件：三角形内角和为 π. 主干知识梳理 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝ tan α±tan β1∓tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝ 2tan α1－tan2α. 3．三角恒等式的证明方法 (1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理 asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝ a2R，sin B＝ b2R，sin C＝ c2R. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 5．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C. 6．面积公式 S△ABC＝12bcsin A＝12acsin B＝1...
