空间向量的数量积运算S�F�W= |F| |s| cos 根据功的计算 , 我们定义了平面两向量的数量积运算 . 一旦定义出来 , 我们发现这种运算非常有用 , 它能解决有关长度和角度问题 .类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算: 1) 两个向量的夹角的定义 :OABaabb如图,已知空间两个非零向量、a b,在空 间任取一点 O ,作 OAa�, OBb�,则角AOB叫做向量 a与b的夹角,记作:,a b. ⑴规定: 0,a b≤≤ ⑷如果,2a b ,则称a与b垂直,记为ab ,,a bb a这样规两个夹＝(2)在的定下，向量的角就被唯一确定了，并且⑶,a b=0 时,ab与同向;,a b=π 时,ab与反向 2 ）两个向量的数量积已知空间两个非零向量、a b,则 cos,a ba b叫做、ab的数量积,记作a b 即cos,a ba ba b . 注 :① 两个向量的数量积是数量，而不是向量 . ②规定 : 零向量与任意向量的数量积等于零 . ③、 仍是 、 的模。aba b注 : 性质② 是证明两向量垂直的依据； 性质③是求向量的长度（模）的依据；注 : 性质② 是证明两向量垂直的依据； 性质③是求向量的长度（模）的依据；显然,对于非零向量、a b, e是单位向量有下列性质: ①cos,a eaa e ； ②0 ;aba b ③2aa a 也就是说2aa. (3) 空间两个向量的数量积性质(4) 空间向量的数量积满足的运算律⑴()()aba b ⑵a bb a (交换律) ⑶()abca ba c (分配律) 注意：数量积不满足结合律即)()a bcab c （另外¿a ba cbc 及000¿a bab 或 这些运算律成立,说明数量积不仅有用,而且运算起来还极为方便 课堂练习222222)()()( )3)()( )4)( )a bcab cpqp qpqpqpq ��1.22 2 ,,22aba b 已知, 则ab与 的夹角大小为_____. 2.判断真假: 1)若0,a b 则0,0ab ( ) 1352变：若呢？a b ADFCBE1(2)(3)(4)��图间边条边对线长点...
