3 ． 1.2 导数的概念自学导引 1．瞬时变化率 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0＋Δx的平均变化率在Δx→0 时的极限，即 想一想：函数平均变化率的几何意义和物理意义是什么？ 提示 平均变化率的几何意义是表示函数 y＝f(x)图象上割线P1P2 的斜率(其中 P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2))，即 kP1P2＝f（x2）－f（x1）x2－x1＝f（x1＋Δx）－f（x1）Δx； 物理意义是把位移 s 看成时间 t 的函数 s＝s(t)在时间段[t1，t2]上的平均速度，即 v＝s（t2）－s（t1）t2－t1. 2．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是 lim ΔyΔx＝lim f（x0＋Δx）－f（x0）Δx，我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 ，即 f′(x0)＝ ΔyΔx＝ f（x0＋Δx）－f（x0）Δx . f′(x0) 或 y′|x ＝ x0 想一想：函数 f(x)在 x＝x0 处的导数与Δx 趋近于 0 的方式有关吗？ 提示 没有关系．无论Δx 从一侧趋近于 0 还是从两侧趋近于 0，其导数值应相同．否则 f(x)在该点处导数不存在，如函数 f(x)＝|x|在 x＝0 处导数不存在． 2．对导数概念的理解 导数是在点 x＝x0 处附近ΔyΔx的极限，是一个局部概念，y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)是一个确定的数． 注意：(1)某点导数的概念包含两层含义： ①lim ΔyΔx存在(惟一确定的值)，则称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导， ②若 lim ΔyΔx不存在，则函数 y＝f(x)在 x＝x0 处不可导． (2)位移函数在某一时刻的瞬时变化率(导数)叫瞬时速度，即 v＝lim ΔsΔt＝lim s（t0＋Δt）－s（t0）Δt. (3)f′(x0)＝lim f（x）－f（x0）x－x0与定义中的 f′(x0)意义本质相同． 题型一 物体运动的瞬时速度 【例 1】 一质点按规律 s(t)＝at2＋1 作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在 t＝2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求常数 a 的值． [思路探索] 求物体的瞬时速度，应先求出平均速度ΔsΔt，再取极限． 解 Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1 ＝4aΔt＋aΔt2， ∴ΔsΔt＝4a＋aΔt. 在 t＝2 s 时，瞬时速度为 ΔsΔt＝4a，即 4a＝8，∴a＝2. 规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下： (1)由物体运动的位移 s 与时间 t 的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求时间...
