第 5 讲 导数及其应用 【高考真题感悟】 (2011·江西)设 f(x)＝13x3＋mx2＋nx. (1)如果 g(x)＝f′(x)－2x－3 在 x＝－2 处取得最小值－5，求 f(x)的解析式； (2)如果 m＋n<10 (m，n∈N*)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求 m 和 n 的值．(注：区间(a，b)的长度为 b－a) 解 由题意得 g(x)＝x2＋2(m－1)x＋(n－3)＝(x＋m－1)2＋(n－3)－(m－1)2，已知 g(x)在 x＝－2 处取得最小值 －5，所以 m－1＝2，(n－3)－(m－1)2＝－5， 解得 m＝3，n＝2. 故所要求的解析式为 f(x)＝13x3＋3x2＋2x. (2)因为 f′(x)＝x2＋2mx＋n，且 f(x)的单调递减区间的长度为正整数，故 f′(x)＝0 一定有两个不同的根，从而 Δ＝4m2－4n>0，即 m2>n. 不妨设这两个不同的根为 x1，x2，则|x2－x1|＝2 m2－n为正整数． 故 m≥2 时才可能有符合条件的 m，n. 当 m＝2 时，只有 n＝3 符合要求． 当 m＝3 时，只有 n＝5 符合要求． 当 m≥4 时，没有符合要求的 n. 综上所述，只有 m＝2，n＝3 或 m＝3，n＝5 满足上述要求． 考题分析 本题主要考查了函数的性质，以及导数在研究函数问题中的应用，突出了函数的工具性作用，同时考查了学生对分类讨论思想的理解和应用． 易错提醒 (1)易忽视二次函数的最小值与对称轴的关系． (2)易忽视函数的单调性与导函数的关系． (3)不能正确地从问题中提炼条件是致误的关键． (4)易忽视分类讨论． 主干知识梳理 1．导数的几何意义 (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 k＝f′(x0)． (2)曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)． 2．基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈N*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0 且 a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (a>0 且 a≠1) f′(x)＝1xln a f(x)＝ln x f′(x)＝1x (2)导数的四则运算法则 ①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)． ②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． ③[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)－u(x)v′(x)[v(x)]2(v(x)≠0)． (3)复合函数求导 复合函数 y...
