直线与圆相切 【例 1 】已知圆 C ： (x － 1)2 ＋ (y － 2)2 ＝ 2 ， P 点的坐标为 (2 ，－ 1) ，过点 P 作圆 C 的切线，切点为A 、 B. 求：(1) 直线 PA 、 PB 的方程；(2) 过 P 点的圆的切线长；(3) 直线 AB 的方程． 221(2)210.1,22|3|2,167071.7150.110Pyk xkxykkkkkkkxyxy如图，设过 点的圆的切线方程为 ＋ ＝－ ，即 － －－ ＝因为圆心到切线的距离为，即＝所以 －－ ＝ ，解得 ＝ 或 ＝－所以所求的切线方程为 － －＝ 或 ＋【－】＝解析 2222222.Rt82 2.715012 9,(, )5 5(1)(2)210,0,1(1)(2)233.230PCCAPCAPAPCCAPCxyAxyxyBxyABxy连结，在中，＝－＝ ，所以过 点的圆 的切线长为由解得．又由解得．所以直线的方程为 － ＋ ＝(1) 过圆上一点作圆的切线只有一条；(2) 过圆外一点作圆的切线必有两条．在求圆的切线方程时，会遇到切线的斜率不存在的情况．如过圆 x2 ＋ y2 ＝ 4 外一点 (2,3)作圆的切线，切线方程为 5x － 12y ＋ 26＝ 0 或 x － 2 ＝ 0 ，此时要注意斜率不存在的切线不能漏掉；(3) 本题中求直线 AB 的方程是通过求切点，根据两切点 A 、 B 的坐标写出来的．事实上，过圆 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 外一点 P(x0 ， y0)作圆的切线，经过两切点的直线方程为 (x0 －a)(x － a) ＋ (y0 － b)(y － b) ＝ r2. 其证明思路为：设切点 A(x1 ， y1) 、 B(x2 ， y2) ， P 点坐标满足切线 PA 、 PB 的方程，从而得出过 A 、 B两点的直线方程． 22(2)114 223MxyQxQAQBMABQAMBABMQ已知圆： ＋ －＝ ， 是 轴上的动点，、分别切圆于 ， 两点．求四边【变式练形的面积的最小值；若＝，求习1】直线的方程． 22222222·1132 211331Rt13.3,0295(5 0)252 5 0252 510.2MAQBMAAQSMA QAQAMQMAMQMQABMQPMPABMBBQMPMBQMBMP MQMQMQQ xxxQMQxyxy 四边形因为，所以＝＝＝＝＝设与交于点 ，则，，＝＝在中，＝，即 ＝，所以＝设，则 ＋ ＝ ， ＝，，所以，，所以直线的方程为 ＋－＝ 或】－＋析＝【解【例 2 】已知圆 C ： x2 ＋ (y － 1)2 ＝ 5 ，直线 l ： mx － y ＋1 － m ＝ 0.(1) 求证：对任意 m∈R ，直线...
