z变换终值定理证明VIP专享VIP免费

z 变换终值定理证明 Z 变换是一种将离散时间序列转换为复平面上的函数的数学工具。在数字信号处理领域，Z 变换在滤波、采样和系统建模等方面具有广泛的应用。Z 变换终值定理是 Z 变换的一个重要定理，用于计算离散时间序列在时域中的终值。在这篇文章中，我们将讨论 Z 变换终值定理的证明。 先给出 Z 变换终值定理的表述： 若 X(z) 的极点位于单位圆内，且在 z=1 处无极点，则有： $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}x(n) = \lim\limits_{z\rightarrow1}(z-1)X(z) $$ 其中，X(z) 是序列 {x(n)} 的 Z 变换。 Z 变换终值定理的证明基于留数定理和极点转移定理。下面我们将逐步介绍这两个定理和证明过程。 一、留数定理 留数定理是复数函数理论中的一个重要定理。它说的是：如果一个函数在一个有限奇异点集合内的所有点都是亚纯函数，那么这个函数的围道积分等于这些点的留数总和。留数是一个点在复平面中的一个数值，反映了函数在该点处的奇异性（例如极点或可去奇点）。留数定理的公式如下： $$ \oint_{C} f(z)dz= 2\pi i \sum_{i=1}^{n} Res[f,a_i] $$ 二、极点转移定理 极点转移定理指出：当两个 Z 变换函数 X(z)和 Y(z) 在某些点的极点相同，但是极点的阶数不同时，它们在这些点处的值也将相同。 算法是通过以下步骤实现的： * 找到共同的极点； * 对于每个共同的极点，计算他们被 X(z)和 Y(z)所喂养的单位面积内的倒数之和，因此有相同的效果； * 相加这些单位面积。这就是两个函数在这些共同极点处的相同效果。 这个定理的公式形式如下： 其中，X(z)和 Y(z)为两个 Z 变换函数，在点 a1,a2,...,an 处存在极点，p 和 q 是这些点的极点的阶数。 三、证明 现在我们开始证明 Z 变换终值定理。首先，我们将 X(z)写成以下形式： $$ X(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} $$ 其中，P(z) 和 Q(z) 是关于 z 的多项式，Q(z)在单位圆内有一个不为零的极点。 Z 变换终值定理的左边是序列 {x(n)} 在 n 趋近于正无穷时的终值，我们将它表示为： 然后，我们将 X(z) 写成其级数形式： 因为 x(n) 在 n 趋近于正无穷时的极限 L 存在，那么对于复平面中单位圆上的点|z|=1，该级数的绝对值必须趋向于零。 我们接下来研究 (z-1)X(z) 的极点和留数。注意到，由于 X(z) 的分母 Q(z) 在单位圆内有唯一极点，因此 (z-1)X(z) 在 z=1 存在一个可去奇点。 进一步地，(z-1...