第二十五章 概率初步专题 48 圆与一元二次方程武汉专版 · 九年级上册一、构建一元二次方程1 ．如图，在以 AB 为直径的半圆中，有一个边长为 2 的内接正方形 CDEF ，求以 AC 和 BC 的长为两根的一元二次方程．【解析】如图，作 OH⊥DE，连接 OD，则 OH＝CD＝DE＝2，OC＝DH＝12DE＝1，∴OD＝ 5，∴AB＝2OD＝2 5，∴AC＝ 5－1，BC＝ 5＋1，∴AC＋BC＝2 5，AC·BC＝4，∴以 AC 和 BC的长为两根的一元二次方程是 x2－2 5x＋4＝0.(答案不唯一)二、与判别式结合2 ．如图， PC 为⊙ O 的切线， PM 平分∠ CPA ，交 CA ， CB 于点 E ， F .(1) 求证：∠ PCE ＝∠ B ；(2) 若 CE ， CF 为方程 x2 ＋ (m － 2)x ＋ m ＋ 1 ＝ 0 的两根，求 CE 的长．【解析】 (1) 证明：如图，作直径 CN ，连接 AN ，则∠ B ＝∠ N ，∠ NAC ＝ 90° ，∵ PC 切⊙ O 于点 C ，∴∠ PCN ＝ 90° ，∴∠ PCA ＋∠ ACN ＝ 90° ，又∵∠ N ＋∠ ACN ＝ 90° ，∴∠ PCA ＝∠ N ＝∠ B ；(2) PM∵平分∠ CPB ，∴∠ CPM ＝∠ BPM ，又∵∠ PCE ＝∠ B ，∴∠ CFE ＝∠ CEF ，∴ CF ＝ CE ，∵ CE ， CF 为方程 x2 ＋ (m － 2)x ＋ m ＋ 1 ＝ 0 的两根，∴ Δ ＝ 0 ，解得 m ＝ 0 或 8 ，即方程为① x2 － 2x ＋ 1 ＝ 0 或② x2 ＋ 6x ＋ 9 ＝ 0 ，解方程①得x1 ＝ x2 ＝ 1 ；解方程②得 x3 ＝ x4 ＝－ 3( 舍去 ) ，∴ CE ＝ 1.三、与根与系数的关系结合3 ． ( 武汉元调 ) 如图， AB 为⊙ O 的直径， D 为 的中点， C 为 上一点，弦 CD ＝ ， I 为△ ABC的内心．(1) 求 BC － AC 的值；(2) 过点 I 作 IE⊥AB 于点 E ，设 BE ＝ m ， AE ＝ n ，求 m － n 的值；(3) 在 (2) 的条件下，若 m ， n 是关于 x 的一元二次方程 x2 － kx ＋ 2k － 1 ＝ 0 的两根，求 IE 的长．2AD︵AB︵【解析】(1)如图，连接 AD，并在 BC 上截取 BF＝AC，连接 DF，可证△ACD≌△BFD，∴CD＝DF，∠ADC＝∠BDF，∴∠CDF＝∠ADB＝90°，∴CF＝2，∴BC－AC＝BC－BF＝CF＝2.(2)如图，作△ABC 的内切圆⊙I，分别与 AC，BC 相切于点 M，N，则 CM＝CN，AM＝AE，BN＝BE，∴m－n＝BN－AM＝(BC－CN)－(AC－CM)＝BC－AC＝2.(3)由题意知 m＋n＝k，mn＝2k－1，∵(m＋n)2－4mn＝(m－n)2，即 k2－8k＋4＝4，∴k＝0 或 8.当 k＝0 时，x2－1＝0，x＝±1 不符合题意；当 k＝8 时，x2－8x＋15＝0，得 x＝3或 5，∴m＝5，n＝3.∵四边形 CMIN 为正方形，∴设 IE＝y，则 AC＝AM＋CM＝3＋y，BC＝BN＋CN＝5＋y，∴(3＋y)2＋(5＋y)2＝64，得 y＝ 31－4(舍负根)，∴IE＝ 31－4.
