第九章简单几何体9.1 棱柱、棱锥、棱台1.设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．4 解： A 2．已知长方体的一条对角线与从它的一个端点出发的三条棱所成的角分别是、、，写出一个、、满足的关系式．解：见题 2 解析图．设A CDA CBA CC，，′′′′．γβαD'C'B'A'DCBA题2解析图由于 coscoscosDCBCC CA CA CA C，，，′′′′则2222222coscoscos1DCBCC CAC′′．3．如图9-15，在棱锥 PABCDE 中，与底面平行的平面截棱锥得多边形A B C D E′ ′ ′ ′ ′ ，点 P 在底面、截面的射影分别是H 、 H′ ，求证：图9 15C'D'E'H'DHECBAP（1） PHPAPBPCPDPEPHPAPBPCPDPE′′′′′′ ．（2）截面 A B C D E′ ′ ′ ′ ′ 与底面 ABCDE 相似．（3）22A B C D EABCDESPHSPH′ ′ ′′ ′′．证明：（ 1）如图所示，连接A H′ ′ 和 AH ．A H′ ′ 和 AH 分别是平面A B C D E′ ′ ′ ′ ′ 和平面 ABCDE 与平面 PAH 的交线．由于平面 A B C D E′ ′ ′ ′ ′ ∥平面 ABCDE ，则PHPAA HAHPA HPAHPHPA，，′′′ ′△′ ′ △∥．同理可证，PHPBPHPCPHPDPHPEPHPBPHPCPHPDPHPE，，，′′′′′′′′ ．则 PHPAPBPCPDPEPHPAPBPCPDPE′′′′′′ ．（2）由于 PAPBPAPB′′ ，P 是公共角，则PA BPAB△′ ′ △∽， A BPAPHABPAPH′ ′′′ ．同理可证，B CPHC DPHD EPHE APHBCPHCDPHDEPHEAPH，，，′ ′′′ ′′′′′′ ′′ ．由于截面 A B C D E′ ′ ′ ′ ′ 与底 ABCDE 的对应边成比例，则截面 A B C D E′ ′ ′ ′ ′ 与底 ABCDE 相似．（3）由（ 2）知，2222A B C D EABCDESA BPHSABPH′ ′ ′ ′ ′△′′′．4．以 1，l ，1，2 ，2 ，2 为六条棱长的四面体有多少个? 解： 3 个．5．四面体 OABC 中， OA面 ABC ， ABAC ，点 P 满足 OPlOAmOBnOC ，其中 lmn，， 为正数且1lmn．若直线OP 是由到面OBC 、面 OCA 和面 OAB 的距离相等的点构成，求二面角AOBC 的余弦值（用l ， m ， n表示）．解：1OPlOAmOBnOCmnlAPmABnACP，，在面 ABC 上．OA面 ABC ， ABAC...
