F 1O F 2 x P y 双曲线焦点三角形面积公式的应用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）定理在双曲线12222byax（ a ＞0， b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点 P 是双曲线上任意一点，21PFF，则2cot221bSPFF. 证明：记2211||,||rPFrPF，由双曲线的第一定义得在△21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr即.4)cos1(242212crra由任意三角形的面积公式得：2cot2sin22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrSPFF. 同理可证，在双曲线12222bxay（ a ＞0， b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解例 1 设1F 和2F 为双曲线1422yx的两个焦点， P 在双曲线上， 且满足9021PFF，则△21PFF的面积是（）A. 1 B. 25C. 2 D. 5解：,145cot2cot221bSPFF选 A. 例 2 (03 天津 )已知1F 、2F 为双曲线1422yx的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PFF的面积是1，则21 PFPF的值是 ___________. 解: ,12cot2cot221bSPFF452,即.9021PFPF，从而.021 PFPF例 3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点 P 在双曲线上， 且6021PFF，△21PFF的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程. 解：由31230cot2cot2221bbSPFF得：.122b又,2122abe.41212a从而.42a所求的双曲线的标准方程为112422yx，或112422xy. 金指点睛1. 已知双曲线1422yx的两个焦点为1F 、2F ，点 P 在双曲线上，且△21PFF的面积为3 ，则21PFPF ?的值为 ( ) A. 2 B. 3C. 2D. 32.（05 北京 6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21FF，P 是此双曲线上的一点，且2||||,2121PFPFPFPF，则该双曲线的方程是（）A. 13222yxB. 12322yxC. 1422yxD. 1422yx3.（05 全国Ⅲ）已知双曲线1222yx的焦点为1F 、2F ，点 M 在双曲线上，且021 MFMF，则点 M 到x 轴的距离为（）A. 34B.35C. 332D. 34. 双曲线116922yx两焦点为F 1，F 2，点 P 在双曲线上，直线PF1，PF2 倾斜角之差为,3则△F1PF2 面积为 ( ) A． 163B．323C． 32 D．42 5. 双曲线14491622yx，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且32||||21PFPF，求21PFF的大小 . 6. 已知双曲线12222byax（ a ＞0， b ＞0）的焦点为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且021 PFPF，abPFPF4||||21，求双曲线的离心率. 参考答案1. 解：32cot2cot221bSPFF，60,302. 又3sin||||212121PFPFSPFF，4||||21PFPF. 21PFPF ?=2214cos||||21PFPF. 故答案选A. 2. 解：,21PFPF1221||||212121PFPFSPFF. 又145cot2cot22221bbbSPFF，1b，而5c，2a. 故答案选C. 3. 解：021 MFMF，21MFMF.245cot22cot221bSMFF. 点 M 到 x 轴的距离为h，则23||212121hchhFFSMFF，332h. 故答案选C. 4. 解：设21PFF，则3. 3166cot162cot221bSPFF. 故答案选A.5. 解：由14491622yx得116922yx. 设21PFF（1800）.2cot162cot221bSPFF. 又sin16sin||||212121PFPFSPFF. 2cotsin，即2sin2cos2cos2sin2. 整理得：212sin2，222sin，452，90 . 故21PFF的大小为 90 . 6. 解：设21PFF，021 PFPF90 .22245cot2cot21bbbSPFF. 又ababPFPFSPFF2421||||212121，abb22. 得2ab. 离心率5)(12abe.
