1 / 7 用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的 “三步曲 ”解法:“作图、证明、解三角形” ,作辅助线多、技巧性强 ,是教学和学习的难点．向量进入高中教材 ,为立体几何增添了活力 ,新思想、新方法与时俱进 ,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．1求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角．（１）求异面直线所成的角设 a 、 b分别为异面直线a、b 的方向向量 , 则两异面直线所成的角= arccos||||||a bab（２）求线面角设 l 是斜线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则斜线l 与平面所成的角= arcsin||| |||l nln（３）求二面角法一、在内 al ，在内 bl ，其方向如图，则二面角l的平面角= arccos||||a ba b法二、设12,,n n 是二面角l的两2 / 7 个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l的平面角=1212arccos||||n nnn2求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求．（１）求点面距离法一、设 n是平面的法向量，在内取一点 B, 则 A到的距离|||||cos |||AB ndABn法二、设AO于 O,利用 AO和点O 在内的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出 ||AO ．（２）求异面直线的距离法一、找平面使 b且 a，则异面直线 a、b 的距离就转化为直线a 到平面的距离，又转化为点A 到平面的距离．法二、在 a 上取一点 A, 在 b 上取一点 B, 设 a 、 b分别为异面直线 a、b 的方向向量 ,求 n （ na， nb），则异面直线 a、b 的距离|||||cos |||AB ndABn（此方法移植于点面距离的求法）．3 / 7 例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCDA BC D 中， E、F分别是棱1111,A D A B 的中点．（Ⅰ）求异面直线1DEFC与所成的角；（II ）求1BC 和面 EFBD 所成的角；（III ）求1B 到面 EFBD 的距离解：（Ⅰ）记异面直线1DEFC与所成的角为，则等于向量1DEFC与的夹角或其补角，（II ）如图建立空间坐标系Dxyz ，则(1,0,2)DE，(2,2,0)DB设面 EFBD 的法向 量 为( , ,1)nx y由00DEnDBn得( 2,2,1)n又1( 2,0,2)BC记1BC 和面 EFBD 所成的角为则1112sin| cos,| ||2||||BCnBC nBCn∴1BC 和面 EFBD 所成的角为4 ．（III ）点1B 到面 EFBD 的距离ｄ等于向...
