习题 1 ． 8 的第 1 题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么 ? 用心想一想，马到功成 发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点 到三角形三边的距离相等． 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论 ? 与同伴交流．DFEMNCBAP用心想一想，马到功成DEFMNCBAP 证明：三角形三条角平分线相交于一点．已知：如图，设△ ABC 的角平分线． BM 、 CN 相交于点 P ，求证： P 点在∠ BAC 的角平分线上．证明：过 P 点作PDAB⊥， PFAC⊥， PEBC⊥，其中D 、 E 、 F 是垂足∵BM 是△ ABC 的角平分线 , 点 P 在 BM上∴PD=PE同理： PE=PF ．∴ PD=PF ．∴ 点 P 在∠ BAC 的平分线上∴△ABC 的三条角平分线相交于点 P ． 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 三角形角平分线的性质定理 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等 如图：直线 L1 、 L2 、 L3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的 距离相等，则可选择的地址有几处？满足条件共 4 个P1Pl3l 21lCBAhttp://www.bnup.com.cn[ 例 1] 如图，在△ ABC中． AC=BC ，∠ C=90° ， AD 是△ ABC 的角平分线，DEAB⊥，垂足为 E ．(1) 已知 CD=4 cm ，求 AC 的长；(2) 求证： AB=AC+CD ．用心想一想，马到功成DABEC(1) 解：∵ AD 是△ ABC 的角平分线，∠ C=90° ， DEAB⊥∴DE=CD=4cm∵AC=BC B=BAC(∴∠∠等边对等角 )∵∠C=90° ，∴∠ B= ×90°=45° ．∴∠BDE=90°—45°=45° ．∴BE=DE( 等角对等边 ) ．在等腰直角三角形 BDE 中 ( 勾股定理 ) ，∴AC=BC=CD+BD=(4+ )cm ．21cm242DEBD2 24[ 例 1] 如图，在△ ABC中． AC=BC ，∠ C=90° ， AD 是△ ABC 的角平分线，DEAB⊥，垂足为 E ．(1) 已知 CD=4 cm ，求 AC 的长；(2) 求证： AB=AC+CD ．用心想一想，马到功成DABEC(2) 证明：由 (1) 的求解过程可知， Rt ACDRt AED(HL)△≌△∴AC=AE ．∵BE=DE=CD ，∴AB=AE+BE=AC+CD ．课堂小结 , 畅谈收获： 本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．课内拓展延伸 如图，△ ABC 中，点 O 是∠ BAC 与∠ ABC 的平分线的交点，过 O 作与 BC 平行的直线分别交 AB 、 AC 于D 、 E ．已知△ ABC 的周长为 15 ， BC 的长为 6 ，求△ ADE 的周长 . CBAEDO
