章末归纳总结1 ．归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理；后者是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论有待于去证明它的正确性．2 ．演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确．3 ．合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者是后者的前提，后者证明前者的可靠性．[ 例 1] 设 f(n) ＝ n2 ＋ n ＋ 41 ， n∈N ＋，计算 f(1) ，f(2) ， f(3) ，…， f(10) 的值，同时作出归纳推理，并用 n＝ 40 验证猜想是否正确．[ 解析 ] f(1) ＝ 12＋ 1 ＋ 41 ＝ 43 ， f(2) ＝ 22＋ 2 ＋41 ＝ 47 ，f(3) ＝ 32 ＋ 3 ＋ 41 ＝ 53 ， f(4) ＝ 42 ＋ 4 ＋ 41 ＝ 61 ，f(5) ＝ 52 ＋ 5 ＋ 41 ＝ 71 ， f(6) ＝ 62 ＋ 6 ＋ 41 ＝ 83 ，f(7) ＝ 72 ＋ 7 ＋ 41 ＝ 97 ， f(8) ＝ 82＋ 8 ＋ 41 ＝ 113 ，f(9) ＝ 92＋ 9 ＋ 41 ＝ 131 ， f(10) ＝ 102＋ 10 ＋ 41 ＝151.由于 43,47,53,61,71,83,97,113,131,151 都为质数．于是猜想当 n 取任何非负整数时 f(n) ＝ n2＋ n ＋ 41 的值为质数．因为当 n ＝ 40 时， f(40) ＝ 402 ＋ 40 ＋ 41 ＝ 41×41 ，所以 f(40) 为合数，因此，上面由归纳推理得到的猜想不正确．[ 例 2] 如图①所示，在△ ABC 中，射影定理可表示为 a ＝ b·cosC ＋ c·cosB ，其中 a ， b ， c 分别为角 A ， B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．[ 解析 ] 如图②所示，在四面体 P － ABC 中，设 S1，S2， S3， S 分别表示△ PAB ，△ PBC ，△ PCA ，△ ABC的面积， α ， β ， γ 依次表示面 PAB ，面 PBC ，面 PCA与底面 ABC 所成二面角的大小，我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 S ＝ S1·cosα ＋ S2·cosβ ＋ S3·cosγ.[ 例 3] 求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．[证明] 设正方形和圆的周长都为 L，依据题意，圆的面积为 πL2π2，正方形的面积为L42.因此，只需证明πL2π2>L42.为了证明上...
