第四部分 专题训练第 34 讲 变换专题一（折叠平移）1．（2013 台州）如图，在▱ABCD 中，点 E，F 分别在边 DC，AB 上，DE=BF，把平行四边形沿直线 EF 折叠，使得点 B，C 分别落在 B′，C′处，线段 EC′与线段 AF 交于点 G，连接 DG，B′G． 求证：（1）∠1=∠2； （2）DG=B′G． ★ 课堂精讲★思路点拨：（1）根据平行四边形得出 DC∥AB，推出∠2=∠FEC，由折叠得出∠1=∠FEC=∠2，即可得出答案； （2）求出 EG=B′G，推出∠DEG=∠EGF，由折叠求出∠B′FG=∠EGF，求出 DE=B′F，证△DEG≌△B′FG 即可． 1.证明：（1） 在平行四边形 ABCD 中，DC∥AB， ∴∠2=∠FEC， 由折叠得：∠1=∠FEC， ∴∠1=∠2； （2） ∠1=∠2， ∴EG=GF， AB∥DC， ∴∠DEG=∠EGF， 由折叠得：EC′∥B′F， ∴∠B′FG=∠EGF， DE=BF=B′F， ∴DE=B′F， ∴△DEG≌△B′FG， ∴DG=B′G． 2．（2013 遵义）如图，将一张矩形纸片 ABCD 沿直线 MN 折叠，使点C 落在点 A 处，点 D 落在点 E 处，直线 MN 交 BC 于点 M，交 AD 于点 N． （1）求证：CM=CN； （2）若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为 3：1，求 DNMN 的值． 思路点拨：（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形 ABCD 是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得 CM=CN； （2）首先过点 N 作 NH⊥BC 于点 H，由△CMN 的面积与△CDN 的面积比为 3：1，易得 MC=3ND=3HC，然后设 DN=x，由勾股定理，可求得 MN 的长，继而求得答案． 2.（1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM， 四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM=∠CMN， ∴∠CMN=∠CNM，∴CM=CN； （2）解：过点 N 作 NH⊥BC 于点 H，则四边形 NHCD 是矩形， ∴HC=DN，NH=DC， △CMN 的面积与△CDN 的面积比为 3：1，∴， ∴MC=3ND=3HC，∴MH=2HC， 设 DN=x，则 HC=x，MH=2x，∴CM=3x=CN， 在 Rt△CDN 中，DC=，∴HN=22x， 在 Rt△MNH 中，MN=， 3．（2013 徐州）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，翻折∠C，使点 C落在斜边 AB 上某一点 D 处，折痕为 EF（点 E、F 分别在边 AC、BC 上） （1）若△CEF 与△ABC 相似． ①当 AC=BC=2 时，AD 的长为 ； ②当 AC=3，BC=4 时，AD 的长为 ； （2）当点 D 是 AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由． 思路点拨：（1）...
