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初等数论试卷(B)一,选择题(满分15分,每题3分)1,下列不正确的是()A设∈,,∈,若,则。B设∈,,,∈,若,则.C设∈,∈,,若,,则。D设∈,,∈,若,则。2,下列哪一个为模12互质的剩余类()A[2],B[5],C[6],D[3]。3,下列哪一个有理数不可以化为有限小数()A,B,C,D。4,同余方程的解为()A,B,C,D此方程无解。5,下列哪一个同余方程组无解()A,BC,D。二,填空题(满分10分,每题2分)1,当=时,和同时成立。2,设∈,则为模m的非负最小完全剩余系。3,。4,写出模8的一个简化剩余系:。5,余式等价于等式:。三,判断题(满分10分,每题2分)1,为欧拉函数,则。()2,设∈,a∈,(a,m)=1,若整数集合为模的一个简化剩余系,则也为模的一个简化剩余系。()3,模的完全剩余系只有有限个。()4,循环小数的循环节长度为4。()5,两整数相等,则必同余。()四,求解题(满分30分)1,用“弃九法”验算下面式子是否正确:。()2,求所化成的循环小数的循环节的长度。()3,求同余方程的所有解。()4,求同余方程组的解。()五,证明题(满分25分)1,证明:对一切正整数,都有。()2,设是两个大于的质数,证明:()3,求证:当为奇数时,。()初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分,共18分)1、如果ab,ba,则().AbaBbaCbaDba2、如果n3,n5,则15()n.A整除B不整除C等于D不一定3、在整数中正素数的个数().A有1个B有限多C无限多D不一定4、如果)(modmba,c是任意整数,则A)(modmbcacBbaCacT)(modmbcDba5、如果(),则不定方程cbyax有解.Acba),(B),(bacCcaDaba),(6、整数5874192能被()整除.A3B3与9C9D3或9二、填空题(每题3分,共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是().2、同余式)(mod0mbax有解的充分必要条件是().3、如果ba,是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为().4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者().5、ba,的公倍数是它们最小公倍数的().6、如果ba,是两个正整数,则存在()整数rq,,使rbqa,br0.三、计算题(每题8分,共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219yx.3、解同余式)45(mod01512x.4、求563429,其中563是素数.(8分)四、证明题(第1小题10分,第2小题11分,第3小题11分,共32分)1、证明对于任意整数n,数62332nnn是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14n的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分,共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分,共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的).2、同余式)(mod0mbax有解的充分必要条件是(bma),().3、如果ba,是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为(][ba).4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者(与p互素).5、ba,的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果ba,是两个正整数,则存在(唯一)整数rq,,使rbqa,br0.三、计算题(每题8分,共32分)1、求[136,221,391]=?(8分)解[136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136]=[1768,391]=173911768=104391=40664.2、求解不定方程144219yx.(8分)解:因为(9,21)=3,1443,所以有解;化简得4873yx;考虑173yx,有1,2yx,所以原方程的特解为48,96yx,因此,所求的解是Zttytx,348,796。3、解同余式)45(mod01512x.(8分)解因为(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为3.又同余式等价于)15(mod054x,即yx1554.我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),即定理4.1中的100x.因此同余式的3个解为)45(mod10x,)45(mod25)45(mod34510x,)45(mod40)45(mod345210x.4、求563429,其中563是素数.(8分)解把563429看成Jacobi符号,我们有42967)1(429674292429134429563429563)1(5634298142921563.214292---------------(3分)...

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