§2.2 排列 第二章 行列式第二章 行列式一、排列与对换 排列的定义：由 n 个数码 1 ， 2 ，…， n 组成的一个无重复的有序数组称为这 n个数码的一个排列，简称为 n 元排列。例如，312 是一个 3 元排列， 2341 是一个 4 元排列， 45321 是一个 5 元排列，等等。3 元排列共有多少种不同的排列？123 132 213 231 312 321n 元排列共有多少种不同的排列？在 n 元排列中，只有 123…n 这个排列是按自然顺序排列，其他排列或多或少破坏自然排列。 第二章 行列式 反序的定义：在一个 n 元排列中，如果有一个较大的数码排在一个较小的数码前面，则称这两个数码在这个排列中构成一个反序，一个 n 元排列中所有反序的总和称为这个排列的反序数，记为12nj jj或 1 2nj jj。 例如： 3212 13 32413 14 453214329 一般地， 1 2121nnj jjmmm这是计算一个 n 元排列的反序数的一般方法，特别在证明题中有用。 第二章 行列式 对换的定义：在一个 n 元排列12nj jj中，如果交换某两个数码的位置而别的数码不动，则称对这个排列施行了一个对换。如果交换的两个数码是i 和 j，就把这个对换记为 ,i j例如1,5341625345621 问题 1 ：任意两个 n 元排列是否可经一系列对换而互变？引理 1 ：任意一个 n 元排列12nj jj 可经一系列对换变为自然排列 12…n 。证明（用归纳法）：1 、当 n=2 时，结论显然成立。2 、假设结论对 n-1 元排列成立，（ 1 ） 则对任一个 n 元排列12nj jj， 第二章 行列式假如njn ，则由归纳假设知121nj jj 可经一系列对换变为 12… （ n-1 ）。于是经同样一系列的对换，121nj jjn变为 12…(n-1)n ；（ 2 ）假如 njn ，设11kjnkn ，于是经一次对换,knjj，得,11knjjknnjjjjjn 由（ 1 ）知，经一系列对换可把 1njjn 变为12…n 。因而1knjjj可经一系列变换变为 12…n 。 ( 证毕 ) 由于对换是可逆的，因此有推论 1 ：自然排列 12…n 可经一系列的对换变到任意一个 n 元排列： 。12nj jj 由引理 1 和推论 1 ，我们圆满地解决上面提出的 问题 1 ，这就是： 第二章 行列式定理 2.2.1 ：任意两个 n 元排列可经一系列对换互化...
