利用三角形的相似,可以解决一些不能直接测量的物体的程度的问题,下面请看几个例子.例 3 据史料记者,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子顶部立一根木杆,集中大院光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如图,如果木杆 EF 长 2m ,它的影长 FD 为 3m ,测得 OA 为 201m ,求金字塔的高度 BO .解:太阳光是平行光线,由此∠ BAO =∠ EDF ,又∠AOB =∠ DFE = 90° ∴ △ABO∽△DEF .FDOAEFBO 13432201FDEFOABO因此金字塔的高为 134m .BEA(F)DO例 4 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P ,在近岸点 Q 和 S ,使点 P 、 Q 、 S 共线且直线 PS 与河垂直,接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T ,确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R .如果测得 QS = 45m , ST= 90m , QR = 60m ,求河的宽度 PQ .解:∵ ∠ PQR =∠ PST = 90° ,∠ P =∠ P ,STQRPSPQ 906045,PQPQSTQRQSPQPQPQ×90 =( PQ + 45 ) ×60解得 PQ = 90.PQRSTab ∴ △PQR∽△PST .因此河宽大约为 90m例 5 已知左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 6cm 和 CD = 12m ,两树的根部的距离 BD = 5m .一个身高 1.6m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进,当他与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点 C ?分析:如图,说观察者眼睛的位置为点 F ,画出观察者的水平视线 FG ,它交 AB 、 CD 于点 H 、 K .视线 FA 、 FG 的夹角∠ CFK 是观察点 C 时的仰角.由于树的遮挡,区域 1 和 11 都在观察者看不到的区域(盲区)之内.HK仰角视线水平线AC解:如图,假设观察者从左向右走到点 E 时,他的眼睛的位置点 F 与两棵树顶端点 A 、 C 恰在一条直线上.由题意可知, AB⊥l , CD⊥l ∴ ABCD∥,△ AFH∽△CFKCKAHFKFH 即4.104.66.1126.185FHFH解得 FH = 8由此可知,如果观察者继续前进,即他与左边的树的距离小于 8m 时,由于这棵树的遮挡,右边树的顶端点 C 在观察者的盲区之内,观察者看不到它.1. 在某一时刻,测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m ,同时测得一栋高楼的影长为 90m ,这栋高楼的高度是多少?练习△ABC ∽ △A'B'C'''''ACBCA CB C1.83''90A C 求得 A'C'=54m答:这栋高楼的高度是 54m.解:ABC1.8m3mA'B'C'90m?2. 如图,测得 BD=120m , DC=60m , EC=50m ,求河宽 AB .ADBEC解: ∵ AB∥CE∴△ABD∽△ECDAB=100m.BDABDCEC1206050AB 答:河宽 AB 为 100m.