最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。【问题描述】如图，将军在图中点 A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？AB将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点 P 使得 PA+PB 最小？PBA【问题分析】这个问题的难点在于 PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点 A 关于直线的对称点 A’，连接 PA’，则 PA’=PA，所以 PA+PB=PA’+PBA'ABP1当 A’、P、B 三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）折点端点A'PBA【思路概述】作端点（点 A 或点 B）关于折点（上图 P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段．2二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在 OA、OB 上分别取点 M、N，使得△PMN 周长最小．MNP''P'NMBAPOOPAB此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OA（折点 M 所在直线）、OB（折点 N 所在直线）的对称点，化折线段 PM+MN+NP 为 P’M+MN+NP’’，当 P’、M、N、P’’共线时，△PMN 周长最小．【例题】如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点 M 和点 N 分别是射线OA 和射线 OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．POBAMN【分析】△PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值，此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于OB、OA 对称点 P’、P’’，化 PM+PN+MN 为 P’N+MN+P’’M．P'P''NMABOP当 P’、N、M、P’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段 P’P’’长，连接 OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以 P’P’’=OP’=OP=8．POBAMNP''P'3【两定两动之点点】在 OA、OB 上分别取点 M、N 使得四边形 PMNQ 的周长最小。Q'P'MNBAPOQQOPABNM考虑 PQ 是条定线段，故只需考虑 PM+MN+NQ 最小值即可，类似，分别作点 P、Q 关于OA、OB 对称，化折线段 PM+MN+NQ 为 P’M+MN+NQ’，当 P’、M、N、Q’共线时，四边形 PMNQ 的周长最小。【一定两动之点线】在 OA、OB 上分别取 M、N 使得 PM+MN 最小。P'MNBAPOOPABNM此处 M 点为折点，作点 P ...
