最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中 P 点轨迹是直线，而当 P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为 1）的点的集合叫做圆．如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点 P 构成的图形为圆．ABPO下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则．FEDCBA证明：，，即（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角 CAE 的角平分线 AD 交 BC 的延长线于点 D，则．1ABCDE证 明 ： 在 BA 延 长 线 上 取 点 E 使 得 AE=AC ， 连 接 BD ， 则△ ACD≌△AED （ SAS ） ， CD=ED 且 AD 平 分 ∠ BDE ， 则， 即．接下来开始证明步骤：NMABPO如 图 ， PA ： PB=k ， 作 ∠ APB 的 角 平 分 线 交 AB 于 M 点 ， 根 据 角 平 分 线 定 理 ，，故 M 点为定点，即∠APB 的角平分线交 AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线 AB 于 N 点，根据外角平分线定理，，故 N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线 AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故 P 点轨迹是以 MN 为直径的圆．OPBAMN法二：建系2不妨将点 A、B 两点置于 x 轴上且关于原点对称，设 A（-m，0），则 B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：解析式满足圆的一般方程，故 P 点所构成的图形是圆，且圆心与 AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点 C 为圆心，2 为半径作圆 C，分别交AC、BC 于 D、E 两点，点 P 是圆 C 上一个动点，则的最小值为__________．EABCDP【分析】这个问题最大的难点在于转化，此处 P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆 C 半径为 2，CA=4，连接 CP，构造包含线段 AP 的△CPA，在 CA 边上取点 M 使得 CM=2，连接 PM，可得△CPA∽△CMP，故 PA：PM=2:1，即 PM=．3MPDCBA问题转化为 PM+PB 最小值，直接连 BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是？答：因为圆 C 半径为 2，CA=4，比值是 1:2，所以构造的是，也只能构造．（2）如果...
