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5最值系列之阿氏圆问题VIP免费

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最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中,我们见识了“kPA+PB”最值问题,其中 P 点轨迹是直线,而当 P 点轨迹变为圆时,即通常我们所说的“阿氏圆”问题.所谓“阿氏圆”,是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念,在平面内,到两个定点距离之比等于定值(不为 1)的点的集合叫做圆.如下图,已知 A、B 两点,点 P 满足 PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点 P 构成的图形为圆.ABPO下给出证明法一:首先了解两个定理(1)角平分线定理:如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的角平分线,则.FEDCBA证明:,,即(2)外角平分线定理:如图,在△ABC 中,外角 CAE 的角平分线 AD 交 BC 的延长线于点 D,则.1ABCDE证 明 : 在 BA 延 长 线 上 取 点 E 使 得 AE=AC , 连 接 BD , 则△ ACD≌△AED ( SAS ) , CD=ED 且 AD 平 分 ∠ BDE , 则, 即.接下来开始证明步骤:NMABPO如 图 , PA : PB=k , 作 ∠ APB 的 角 平 分 线 交 AB 于 M 点 , 根 据 角 平 分 线 定 理 ,,故 M 点为定点,即∠APB 的角平分线交 AB 于定点;作∠APB 外角平分线交直线 AB 于 N 点,根据外角平分线定理,,故 N 点为定点,即∠APB 外角平分线交直线 AB 于定点;又∠MPN=90°,定边对定角,故 P 点轨迹是以 MN 为直径的圆.OPBAMN法二:建系2不妨将点 A、B 两点置于 x 轴上且关于原点对称,设 A(-m,0),则 B(m,0),设P(x,y),PA=kPB,即:解析式满足圆的一般方程,故 P 点所构成的图形是圆,且圆心与 AB 共线.那么这个玩意和最值有什么关系呢?且来先看个例子:如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点 C 为圆心,2 为半径作圆 C,分别交AC、BC 于 D、E 两点,点 P 是圆 C 上一个动点,则的最小值为__________.EABCDP【分析】这个问题最大的难点在于转化,此处 P 点轨迹是圆,故转化方法与之前有所不同,如下,提供两种思路.法一:构造相似三角形注意到圆 C 半径为 2,CA=4,连接 CP,构造包含线段 AP 的△CPA,在 CA 边上取点 M 使得 CM=2,连接 PM,可得△CPA∽△CMP,故 PA:PM=2:1,即 PM=.3MPDCBA问题转化为 PM+PB 最小值,直接连 BM 即可.【问题剖析】(1)这里为什么是?答:因为圆 C 半径为 2,CA=4,比值是 1:2,所以构造的是,也只能构造.(2)如果...

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